Aula derivada 9

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Formas indeterminadas Fun¸˜es hiperb´licas co o

Formas Indeterminadas & Fun¸˜o Hiperb´licas ca o

Bras´ 2o semestre de 2009 ılia,

Universidade de Bras´ - Faculdade do Gama ılia

Formas Indeterminadas & Fun¸˜o Hiperb´licas ca o

Formas indeterminadas Fun¸˜es hiperb´licas co o

Conte´do u

Formas indeterminadas Fun¸˜es hiperb´licas co o

Formas Indeterminadas & Fun¸˜o Hiperb´licas ca o

Formasindeterminadas Fun¸˜es hiperb´licas co o

Tipos de formas indeterminadas
Formas indeterminadas s˜o limites de raz˜es de fun¸˜es que nos a o co levam a situa¸˜es do tipo 0/0 ou ∞/∞; co Exemplos: sen(x) ; 1. lim x→0 x 2. lim x 2 − x − 12 ; x→4 x 2 − 3x − 4 ln(x)
1 x

3. lim+
x→0

;

Observe que nesses casos n˜o podemos usar o teorema do limite a da raz˜o de fun¸˜es. a co
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O Teorema do Valor M´dio de Cauchy para duas fun¸˜es e co
Teorema: Se f e g forem fun¸˜es tais que co (i) f e g s˜o cont´ a ınuas no intervalo [a, b]; (ii) f e g s˜o diferenci´veis no intervalo aberto (a, b); a a (iii) para todo x no intervalo aberto (a, b), g (x) = 0, ent˜o existir´ um n´mero z no intervalo aberto (a, b) talque a a u f (z) f (b) − f (a) = g (b) − g (a) g (z)

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Prova do Teorema do Valor M´dio de Cauchy para duas e fun¸oes c˜
Para demonstrar o teorema: Mostre que g (b) = g (a) (consequˆncia do TVM); e Defina h(x) = [f (x) − f (a)] − f (b) − f (a) [g (x) − g (a)]; g (b) − g (a)

Observe que h(x) obedece `scondi¸˜es do Teorema de Rolle; a co Aplique esse teorema e demonstre o Teorema do Valor M´dio e de Cauchy para duas fun¸˜es; co

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A regra de L’Hˆpital o

Sejam f e g fun¸˜es diferenci´veis num intervalo aberto I , exceto co a possivelmente em um n´mero a em I . Suponha que, para todo u x = a em I , g(x) = 0. Ent˜o, se lim f (x) = 0 e lim g (x) = 0 e a
x→a x→a

f (x) = L, ent˜o a ainda, se lim x→a g (x) lim f (x) =L g (x)

x→a

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Prova da regra de L’Hˆpital o
Suponhamos as condi¸˜es da regra de L’Hˆpital e as defini¸˜es de co o co F (x) e G (x) tais que F (x) = f (x), x = a 0, x = a e G (x) = g (x),x = a 0, x = a

Nesse caso, supondo ainda que x ∈ I tal que x > a, desde que F e G s˜o cont´ a ınuas: Do teorema do valor m´dio para duas fun¸˜es sabemos que e co F (x) − F (a) G (z) = , em que a < z < x. G (x) − G (a) G (z) f (x) f (z) Das defini¸˜es de F e G segue que co = ; g (x) g (z) Como a < z < x temos que se x → a+ , ent˜o z → a+ , logo a
x→a

lim+

f (x) f (z) f (x) = lim+ = lim+ =L g (x)x→a g (z) x→a g (x)
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Observa¸oes sobre a regra de L’Hˆpital c˜ o

Para demonstrar o limite pela esquerda usamos o mesmo racioc´ para x < z < a. Assim a regra fica demonstrada ınio por completo; A regra tamb´m vale se lim f (x) = 0, lim g (x) = 0 e e
x→∞ x→∞ x→∞

lim f (x)/g (x) = L:
• Para demonstraresse fato usamos t = 1/x; • Essa substitui¸˜o de vari´veis leva ` regra na sua forma ca a a original;

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Exerc´ ıcios

Utilize a regra de L’Hˆpital para calcular os limites abaixo: o sen(x) 1. lim ; x→0 x 2. lim x 2 − x − 12 ; x→4 x 2 − 3x − 4 ln(x)
1 x

3. lim+
x→0

;

Formas Indeterminadas & Fun¸˜oHiperb´licas ca o

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Defini¸oes c˜
As fun¸˜es seno hiperb´lico e co-seno hiperb´lico, denotadas co o o respectivamente por senh e cosh s˜o definidas como a senh(x) = e x − e −x 2 e cosh(x)...
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