Aula derivada 10

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O Teste da Derivada Primeira Concavidade e Inflex˜o a O Teste da Derivada Segunda

Comportamento de Fun¸˜es co

Bras´ 2o semestre de 2009 ılia,

Universidade de Bras´ - Faculdade do Gama ılia

Comportamento de Fun¸˜es co

O Teste da Derivada Primeira Concavidade e Inflex˜o a O Teste da Derivada Segunda

Conte´do u

O Teste da Derivada Primeira Concavidade e Inflex˜o a O Teste da Derivada SegundaComportamento de Fun¸˜es co

O Teste da Derivada Primeira Concavidade e Inflex˜o a O Teste da Derivada Segunda

Fun¸oes crescentes e decrescentes c˜
f ( x2)

Defini¸˜o: Uma fun¸˜o f : A → R ´ ca ca e dita crescente em [a, b] ⊂ A se, para todo x1 , x2 ∈ [a, b], tal que x2 > x1 f (x1 ) < f (x2 )

f ( x1)

x1

x2

Defini¸˜o: Uma fun¸˜o f : A → R ´ dita ca ca e decrescente em [a, b] ⊂ A se, para todo x1, x2 ∈ [a, b], tal que x2 > x1 f (x1 ) > f (x2 )

f ( x1) f ( x2)

x1
Comportamento de Fun¸˜es co

x2

O Teste da Derivada Primeira Concavidade e Inflex˜o a O Teste da Derivada Segunda

O TVM e o comportamento de fun¸oes c˜
Teorema: Seja f uma fun¸˜o cont´ ca ınua no intervalo fechado [a, b] e deriv´vel a no intervalo aberto (a, b): (i) se f (x) > 0, ∀x ∈ (a, b), ent˜o, f (x) ser´ crescente em [a,b]; a a (ii) se f (x) < 0, ∀x ∈ (a, b), ent˜o, f (x) ser´ decrescente em [a, b]; a a

Comportamento de Fun¸˜es co

O Teste da Derivada Primeira Concavidade e Inflex˜o a O Teste da Derivada Segunda

O TVM e o comportamento de fun¸oes c˜
Teorema: Seja f uma fun¸˜o cont´ ca ınua no intervalo fechado [a, b] e deriv´vel a no intervalo aberto (a, b): (i) se f (x) > 0, ∀x ∈ (a, b), ent˜o, f (x) ser´crescente em [a, b]; a a (ii) se f (x) < 0, ∀x ∈ (a, b), ent˜o, f (x) ser´ decrescente em [a, b]; a a Prova do caso (i) : Sejam x1 , x2 ∈ [a, b], tais que x1 < x2 ;

Comportamento de Fun¸˜es co

O Teste da Derivada Primeira Concavidade e Inflex˜o a O Teste da Derivada Segunda

O TVM e o comportamento de fun¸oes c˜
Teorema: Seja f uma fun¸˜o cont´ ca ınua no intervalo fechado [a, b] e deriv´vel a nointervalo aberto (a, b): (i) se f (x) > 0, ∀x ∈ (a, b), ent˜o, f (x) ser´ crescente em [a, b]; a a (ii) se f (x) < 0, ∀x ∈ (a, b), ent˜o, f (x) ser´ decrescente em [a, b]; a a Prova do caso (i) : Sejam x1 , x2 ∈ [a, b], tais que x1 < x2 ; Pelo TVM sabemos que existe c ∈ (x1 , x2 ) tal que f (c) = f (x2 ) − f (x1 ) x2 − x1

Comportamento de Fun¸˜es co

O Teste da Derivada Primeira Concavidade eInflex˜o a O Teste da Derivada Segunda

O TVM e o comportamento de fun¸oes c˜
Teorema: Seja f uma fun¸˜o cont´ ca ınua no intervalo fechado [a, b] e deriv´vel a no intervalo aberto (a, b): (i) se f (x) > 0, ∀x ∈ (a, b), ent˜o, f (x) ser´ crescente em [a, b]; a a (ii) se f (x) < 0, ∀x ∈ (a, b), ent˜o, f (x) ser´ decrescente em [a, b]; a a Prova do caso (i) : Sejam x1 , x2 ∈ [a, b], tais que x1 < x2 ; f(x2 ) − f (x1 ) x2 − x1 Temos que f (c) > 0, por hip´tese. Como x2 − x1 > 0, segue que o f (x2 ) − f (x1 ) > 0 para quaisquer x1 , x2 ∈ (a, b); Pelo TVM sabemos que existe c ∈ (x1 , x2 ) tal que f (c) =

Comportamento de Fun¸˜es co

O Teste da Derivada Primeira Concavidade e Inflex˜o a O Teste da Derivada Segunda

O TVM e o comportamento de fun¸oes c˜
Teorema: Seja f uma fun¸˜o cont´ ca ınua nointervalo fechado [a, b] e deriv´vel a no intervalo aberto (a, b): (i) se f (x) > 0, ∀x ∈ (a, b), ent˜o, f (x) ser´ crescente em [a, b]; a a (ii) se f (x) < 0, ∀x ∈ (a, b), ent˜o, f (x) ser´ decrescente em [a, b]; a a Prova do caso (i) : Sejam x1 , x2 ∈ [a, b], tais que x1 < x2 ; f (x2 ) − f (x1 ) x2 − x1 Temos que f (c) > 0, por hip´tese. Como x2 − x1 > 0, segue que o f (x2 ) − f (x1 ) > 0 paraquaisquer x1 , x2 ∈ (a, b); Pelo TVM sabemos que existe c ∈ (x1 , x2 ) tal que f (c) = Logo f (x2 ) > f (x1 ) para quaisquer x1 , x2 ∈ (a, b), isto ´, f (x) ´ crescente e e em [a, b].

Comportamento de Fun¸˜es co

O Teste da Derivada Primeira Concavidade e Inflex˜o a O Teste da Derivada Segunda

O Teste da Derivada Primeira
Sejam uma fun¸˜o f , um intervalo (a, b) e um ponto c ∈ (a, b) tal ca que...
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