Atps de calculo i

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DERIVADA

A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos também lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo.
[pic]
[pic]
Define-se a derivada dafunção y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando [pic]x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:

[pic] 
Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.
Observe que quando [pic]x0 → 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , queforma um ângulo b com o eixo horizontal (eixo das abscissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = a .tende ao valor do ângulo

Exemplo de derivada da função y = x2 , no ponto x = 10
y = f(x) = x2
f(x + [pic]x) = (x + [pic]x)2 = x2 + 2x.[pic]x + ([pic]x)2
f(x + [pic]x) - f(x) = x2 + 2x.[pic]x + ([pic]x)2 - x2 = 2x.[pic]x + ([pic]x)2
[pic]y = f(x + [pic]x) - f(x) = x2 + 2x.[pic]x + ([pic]x)2 - x2 =2x.[pic]x + ([pic]x)2
Portanto,
[pic]
Observe que colocamos na expressão acima, D x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido.
Portanto a derivada da função y = x2 é igual a y ' = 2x.
Logo, a derivada da função y = x2, no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 = 20.















 
TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA

Sabemos que as grandezas variam. Todos os diaspensamos muitas vezes na variação de grandezas, como, por exemplo, o tempo gasto para chegar à Universidade, o quanto engordamos ou emagrecemos no último mês, a variação da temperatura num dia específico, e assim por diante.
De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou seja, y = f (x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência,uma dada variação de y, desde que y não seja uma função constante.
Se y = f (x) = x2, e, a partir de x0, supomos uma variação Δx, ou seja, xvaria de x0 até x0 + Δx(podemos calcular a correspondente variação de y, que denominamos Δy).



O quociente [pic]é denominado razão média das variações ou taxa de variação média e normalmente depende do particular ponto x0 e da variação Δxconsiderada.
Dada uma função y = f (x), definida num intervalo, e de tal modo que y é uma função crescente da variável independente, podemos considerar algumas situações:

[pic]
Figura I
[pic]
Figura II
[pic]
Figura III
[pic]
Figura IV

 


Observação:
Ao considerar o acréscimo Dx, podemos tomar Dx > 0, obtendo [x0, x0 + Dx] como sendo o intervalo no qual x varia; outomando Dx < 0, obtemos o intervalo de variação [x0 + Dx, x0]. Em ambos os casos, é possível calcular [pic].
O conhecimento da taxa média de variação não nos fornece uma quantidade razoável de informações para podermos decidir como a variável dependente se comporta em relação à variável independente em um ponto específico. Para tanto, o conhecimento da taxa de variação em cada ponto dodomínio será muito mais eficaz.

 
TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

Conforme vimos nos exemplos de Taxa de Variação Média, as informações dadas por ela são relativamente pobres quando estamos interessados em conhecer o comportamento de uma função.
A fim de alcançar esse objetivo, seria interessante conhecer a taxa de variação em intervalos de comprimento "muito pequeno" o que ainda nãoresolveria o nosso problema, uma vez que "muito pequeno" não é algo totalmente claro. O ideal mesmo seria conseguir definir o que é taxa de variação em cada ponto.
A questão é: como definir a velocidade instantânea de um corpo em movimento num determinado instante?
Exemplo: Suponhamos que a equação horária do movimento de um corpo é dada por s (t) = t2 + 5 e que desejamos saber a...
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