Atps de calculo - anhanguera

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ATPS – Atividades Práticas Supervisionadas

Etapa nº2

Passo – 5
Logaritmos são utilizados com frequência, quando temos de resolver problemas com expoentes desconhecidos, como nos exemplos a seguir:

EXEMPLO 1
Um juiz determinou o pagamento de uma indenização até certa data. Determinou também que, caso o pagamento não fosse feito, seria cobrada uma multa de R$ 2,00 que dobraria a cada diade atraso. Em quantos dias de atraso essa multa seria superior a 1 milhão de reais?
Solução:
A multa determinada pelo juiz pode parecer pequena, se o atraso no pagamento for de poucos dias. Mas ela cresce com uma rapidez muito grande. Chamando de x o número de dias de atraso no pagamento, o valor da dívida será 2x. Veja:

1 dia de atraso
2 dias de atraso
3 dias de atraso

x = 1 =>multa = 21 = 2
x = 2 => multa = 2² = 4
x = 3 => multa = 2³ = 8

E assim por diante.
Como vemos, as multas crescem em progressão geométrica. Devemos calcular em que dia essa multa atinge 1 milhão de reais, ou seja, devemos resolver a equação:

2x= 1 000 000

Para resolver essa equação é preciso aplicar o logaritmo nos dois lados:

log 2x = log 1 000 000

log 2x = log 106Agora vamos aplicar a propriedade do logaritmo da potência:

x · log 2 = 6 · log 10

Como log 10 = 1 e log 2 = 0,301 (veja a tabela), temos:

x · 0,301 = 6

x = 60,301 = 19, 93

Assim, concluímos que no 20º dia de atraso a multa terá passado de 1 milhão de reais.

EXEMPLO 2
Se log x = 1,6395, determine x.

Solução:
Vamos recordar, inicialmente, que o logaritmo se constitui de duaspartes: a característica e a mantissa. A característica é o número que está antes da vírgula e a mantissa é o número que aparece depois da vírgula. A tábua de logaritmos apresentada na aula passada nos dá apenas as mantissas, mas a característica nos dá a seguinte informação:

NÚMEROS | CARACTERÍSTICA |
entre 1 e 9 | 0 |
entre 10 e 99 | 1 |
entre 100 e 999 | 2 |
entre 1000 e 9999 | 3 |Como log x = 1,6395 tem característica 1. Então, sabemos que o número x está entre 10 e 99. Assim, procuramos a mantissa 6395 na tábua.

Uma vez encontrada a mantissa, vemos que na coluna da esquerda está o número 43 e na linha de cima o número 6. Juntando esses números, formamos o número 436, faltando apenas colocar a vírgula no lugar certo. Como o nosso número está entre 10 e 99, então x =43,6.

EXEMPLO 3
Um construtor deseja fazer um reservatório de água para conter 5000 litros e que tenha a forma de um cubo. Quanto deve medir o lado desse cubo?
Solução:
Um cubo é uma caixa que tem comprimento, largura e altura iguais. O volume de uma caixa é o produto de suas dimensões: (comprimento x largura x altura). Logo, se o lado do cubo mede “a”, seu volume será a · a · a = a³. Poroutro lado, sabemos que 1m³ é igual a 1000 litros. Portanto, se essa caixa deve conter 5000 litros, seu volume será 5m³. Devemos então resolver a equação:

a³ = 5
O valor de “a” será a medida em metros do lado desse cubo. Aplicando logaritmo dos dois lados e, em seguida, a propriedade da potência temos:

log a³ = log 5

3 · log a = log 5
3 · log a = 0,699

log a = 0,6993

log a = 0,233Como agora sabemos que o logaritmo de “a” é igual a 0,233, vamos procurar na tábua de logaritmos a mantissa 233.

Encontrando a mantissa 2330, verificamos que à esquerda existe o número 17 e acima o número 1. Juntando esses algarismos formamos o número 171. Falta apenas colocar a vírgula no lugar correto. Repare que calculamos log a = 0,233. Esse número possui característica 0, ou seja, ovalor de a está entre 1 e 9. Portanto, o valor do lado do cubo é 1,71 m.
Dessa forma, o construtor saberá que construindo um reservatório de água com a forma de um cubo de 1,71 m de lado, ele terá a capacidade de conter 5000 litros de água.

EXEMPLO 4
Em certo país, a taxa de inflação é igual todos os meses, mas no final de um ano verificou-se que os preços dobraram. Qual é a taxa mensal de...
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