Atps calculo 2

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Etapa 1
Passo 1
Taxa de Variação Media

Taxa de variação da altura em relação ao tempo:
S(a+h) – s(a)
H
Essa razão é chamada de quociente de diferenças. Vamos, agora, aplicar a mesma analise a qualquer função f que não seja necessariamente função do tempo. Dizemos:
Taxa de variação Média de f no intervalo de a até a+h :
f(a+h) – f(a)
H
O Numerador, f(a+h) – F(a), medea variação nos valores de f no intervalo de a+h. Logo, o quociente de diferenças é a variação em f dividida pela variação em x, embora o intervalo não seja necessariamente um intervalo de tempo, ainda falamos sobre taxa de variação media de f no intervalo.
Razão de variação media
Sabemos que as grandezas variam. Em nosso dia a dia, pensamos muitas vezes na variação de grandezas, como, porexemplo, o tempo gasto para chegar à Universidade, o quanto engordamos ou emagrecemos no último mês, a variação da temperatura num dia específico, e assim por diante.
De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou seja, y=f(x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma variação de y, desde que y não seja uma função constanteExemplo 1:
Se y=f(x)=x2, e, a partir de x0, supomos uma variação Dx – ou seja, x varia de x0 até x0+Dx – podemos calcular a correspondente variação de y, que denominamos Dy.
O quociente é denominado razão média das variações ou taxa de variação média e normalmente depende do particular ponto x0 e da variação Dx considerada.

Exemplo 2:
O volume V de uma esfera de raio r é dado por V = 4 π r³/3.Resolvendo para r em função de V, obtemos:
R = f(V) =( 3v) ¹/³
4 π
Calcule a taxa de variação media de r em relação a V nos intervalos 0,5<V< 1 e 1 <V<1,5.
Usando uma formula para a taxa de variação média nos dá
Taxa média de variação do raio para 0,5 < V < 1 :
F(1) – f(0,5) = 0,26
0,5
Taxa média devariação do raio para 1< V < 1,5 :

F(1,5) – f(1) = 0,18 .
0,5

Taxa de Variação Instantânea

Conforme vimos nos exemplos de Taxa de Variação Média, as informações dadas por ela são relativamente pobres quando estamos interessados em conhecer o comportamento de uma função.

A fim de alcançar esse objetivo, seria interessante conhecer a taxa de variação em intervalosde comprimento "muito pequeno" o que ainda não resolveria o nosso problema, uma vez que "muito pequeno" não é algo totalmente claro. O ideal mesmo seria conseguir definir o que é taxa de variação em cada ponto.
A questão é: como definir a velocidade instantânea de um corpo em movimento num determinado instante?

Exemplo 1

Suponhamos que a equação horária do movimento de um corpo é dada pors(t)=t2+5 e que desejamos saber a velocidade do corpo no instante t=2. Como podemos achar essa velocidade?
Sendo s(t)=t2+5, examinemos, em primeiro lugar, a velocidade média no intervalo de tempo [2,2+Dt], com Dt >0 ou Dt <0. temos:

Ds=s(2+Dt )-s(2)=[(2+Dt )2+5]-[4+5]=4. Dt+ Dt2= Dt.(4+Dt ) e assim,
Para achar a velocidade instantânea em t=2 fazemos com que o acréscimo Dt se torne muitopequeno, tão pequeno quanto quisermos. Observemos o que ocorre:

Dt
0,01
4,01
0,001
4,001
0,0001
4,0001

Conforme Dt diminui, se aproxima de 4. Queremos dizer que conforme Dt se torna muito pequeno, tendendo a zero, o quociente tende a 4. Representamos esse fato através da notação:
e dizemos que, no instante t=2, a velocidade do corpo é v(2)=4 unidades de velocidade. Ou seja, a taxade variação instantânea no instante t=2 é 4.
Se o espaço estiver sendo medido em metros e o tempo em segundos, então:

v(2)=4 m/s.

Exemplo 2

Imaginemos que um vaso de flores caiu da janela de um prédio, isto é, temos um corpo em queda livre, cujo movimento iniciou-se de uma altura h. Da Física, sabemos que a equação horária do movimento de um corpo em queda livre, com velocidade inicial...
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