Aplicação de integral definida

IFSC / Cálculo I

Prof. Júlio César TOMIO

INTEGRAÇÃO
Derivada

Introdução:
Veja o processo a seguir:

F ( x)  2 x 2  5 x  2

f ( x)  4 x  5

derivação



integração



f ( x)  4 x  5

F ( x)  ?
Primitiva ou Antiderivada

Podemos dizer em “palavras simples” que:
A integração [do tipo indefinida] representa uma transformação inversa da derivação.
A INTEGRAL INDEFINIDA:
Para se calcular a antiderivada [ou primitiva] de uma função utilizamos:

 f ( x) dx

 F ( x)  c

Onde:



 sinal [símbolo] de integração indefinida

f’(x)  função integrando
F(x)  função integrada [primitiva ou antiderivada] dx c
A primitiva de

 operador que indica a variável de integração [x]
 constante de integração

f ( x)  4 x  5 ficaria então “simbolizada” na forma:

 (4 x  5) dx

Para realizarmos o processo de integração, dispomos de algumas “regras”, das quais, as duas mais “simples” são:  dx  x  c


 x dx 

e

x 1
 c
 1

com    e   1

Assim como na derivação, a integração [indefinida] também usufrui da propriedade da linearidade. Assim:
i)
ii)

 k  f ( x) dx

 k   f ( x) dx

  f ( x)  g ( x)  dx   f ( x) dx   g ( x) dx

De forma mais sintética e abrangente, podemos escrever:

Destacamos ainda que:

d dx   f ( x) dx  

  k  f ( x)  g ( x) dx  k   f ( x)dx   g ( x)dx

f ( x)

Ou seja, a derivada da integral de uma dada função f (x) é a própria função f (x) .

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Assim, a integral

 (4 x  5) dx

 (4 x  5) dx

 4 x dx +  5 dx

=

é:

1
4. x dx  5. dx  4  x 2  5  x  c  2 x 2  5 x  c
2

=

Note que todas as funções:

F1 ( x)  2 x 2  5x  14
F2 ( x)  2 x 2  5x  8

têm suas derivadas iguais a:

F3 ( x)  2 x 2  5x  3

f ( x)  4 x  5 .

F4 ( x)  2 x 2  5x
Isso justifica a existência da constante de