Aplicação da integral definida

CAPÍTULO 8 - APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA

8.1- A Integral Definida para Cálculo de Área A integral definida de uma função f(x), num intervalo [a,b] é igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x. y f(x) f1 ∆x f1

x a + ∆x

∫ a b

f ( x ) dx =

∫ a a + 2 ∆x a + ∆x

f 1 dx +

∫ f 2 dx

+ ... = f 1 ∫ dx + f 2

∫ dx

+ ...

pois, o f i para um dado retângulo é constante = f 1 ∆x + f 2 ∆x + ... = A1 + A2 + ... = A

∫ a b

f ( x ) dx = A área sob a curva

Exercícios 1) Determinar a área limitada pela curva y = 5x − x 2 e pelo eixo x. 5x − x 2 = 0 x (5 − x ) = 0 x = 0  x = 5 0 5 y = 5x − x 2

A=

∫

5

0

5x − x 2 dx = 5.

x2 x3 − 2 3

5

=
0

53 53 5 − = u.a. 2 3 6

2) Dada a função y = x calcular a área sob o gráfico de x = 0 a x = 3 . y y=x A= 3 Por geometria 128
3 3

∫
0

f ( x ) dx =

∫
0

2 x dx = x

3

2

=
0

9 2

x

A=

1 1 9 base × altura = ×3×3= 2 2 2

que é o mesmo resultado obtido por integração. 3) Calcule a área compreendida entre o eixo x e a curva O gráfico da curva é: y f(x) f(x) =

1 2 (x – 2x + 8), entre x = -2 e x = 4. 8

x 4 4 -2 0 4    x3 x2 1  x3 1 2 2 =  A = ∫ x − 2 x + 8 dx = − x + 8 x − + x  8 8 3 8  −2  −2  24     −2
4

(

)

=

43 42 +424 8

 ( −2 ) 3 ( −2 ) 2  64 16 8 4 14 17 15 + +2 = +4+ − − 2 = + =  8 24 8 24 8 3 6 2  24    y = x2 – 3x + 2 e o eixo x que é y = 0.

4) Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva y f(x)

Nos dois pontos y = 0→ x2 – 3x + 2 = 0 fornece x1 = 1 e x2 = 2.

0 A2 = +

∫ a b

1

f ( x ) dx = +

∫ (x
2 1

2

x
2

∫ f ( x ) dx a b

= A , então
2

3 2 − 3 x + 2 dx =  x − 3 x + 2 x   

)

 3 

2

1 

 8 3 × 4 1   1 3  2 5  A2 = +   − unidades de área + 4  − + − + 2   = +  −  = 3 2 3 2 3 6 6      8.1.1- A Integral Definida para Cálculo de Área de Funções Pares e Impares Quando uma função é