Analise combinatória

Exercícios de Combinações simples.
01) Mostre que o produto de k inteiros sucessivos é divisível por . Dica: Considere o número de maneiras de selecionar k inteiros dentre .
Solução:

O produto que aparece no numerador da fração acima é o produto de k inteiros sucessivos.
02) Dentre os números 1,2,...,100, de quantas maneiras diferentes podemos selecionar 2 inteiros se:
a) A diferença entre eles é exatamente 7?
Solução:
A quantidade pedida é dada por: . Neste caso então temos 93 números
Fazendo as combinações:
São 93 pares de números cuja diferença é 7.
b) A diferença entre eles é menor que ou igual a 7?
Seguindo a relação acima:

03) Determine o números de divisores inteiros e positivos de 720.
Solução:
Fatorando o número 720 obtemos: , decompondo as potências encontradas da seguinte forma . Aplicando a “propriedade distributiva” entre os termos considerados encontramos todos os divisores de 720.
D(720)=
04) Qual é a soma dos divisores inteiros positivos de 720?
Solução:
Considerando os resultados obtidos no exercício anterior, temos que .
Considerando os fatores , e aplicando a propriedade distributiva obtemos:
1+2+3+4+5+6+8+9+10+12+15+18+20+24+30+36+40+45+48+60+72+80+90+120+144+180+240+360+720=3.309
05) De quantas maneiras podemos distribuir 22 livros diferentes entre 5 alunos se 2 deles recebem 5 livros cada e os outros recebem 4 livros cada?
Distribuição do primeiro aluno: Distribuição do quarto aluno:
Distribuição do segundo aluno: Distribuição do quinto aluno:
Distribuição do terceiro aluno:
Pelo princípio multiplicativo:

06) A figura abaixo mostra 0 mapa de 5 países:

a) De quantos modos este mapa pode ser colorido (cada país com uma cor, países com linha de fronteira comum não podem ter a mesma cor) se dispomos de m cores diferentes?
Solução:
O enunciado não restringe a repetição de cores, então conforme o esquema abaixo:
Vamos dividir a solução em dois casos mutuamente exclusivos:
1ª caso (P2 = P4 )