Am1 continuidade de uma função

Enunciado do trabalho nº3:

Problema 1.

Esboce o gráfico de uma função f (x) que verifique as seguintes condições:

a) O domínio de f é [pic];
b) f é contínua em todos os pontos do seu domínio, exceto em x = 2, x = 5 e x = 7;
c) f é prolongável por continuidade ao ponto 5 mas não é prolongável por continuidade ao ponto 2, apesar de os limites laterais de f no ponto 2 serem finitos;
d) f tem uma assíntota à direita de x = 7 (mas não à esquerda);
e) [pic]; [pic]
d) [pic];
e) [pic]

Problema 2.

a) Mostre que qualquer função contínua f : [0,4] [pic] [2,3] tem sempre um ponto fixo, isto é, que existe [pic] [0,4] tal que [pic]. (Um gráfico pode ajudar, mas não chega como justificação!)

b) A conclusão continua válida se f : ]0,4[[pic]]2,3[ ? E se o contradomínio de f não estiver contido no seu domínio?

Resolução do problema 1.

ESBOÇO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO

[pic]

Resolução do problema 2.

a)

Existe um [pic]tal que [pic][pic] (Função identidade)
Trata-se de verificar que [pic], tal que [pic]
Sendo [pic]
Ou melhor, trata-se de provar que a função [pic], tem pelo menos um “zero” em [pic].
1º[pic][pic]é uma função contínua no seu domínio.
2º[pic][pic]
[pic]

Então, pelo Teorema de Bolzano,
[pic] a função [pic]tem pelo menos um “zero” em [pic], que neste caso corresponde a um ponto de intersecção com a função [pic].
[pic]

b)

1 - A conclusão acima referida (qualquer função contínua [pic],tem sempre um ponto fixo, isto é, que existe [pic] tal que [pic]) de facto continua válida se [pic].

2 - Não estando o contradomínio contido no seu domínio a função não tem nenhum ponto em que [pic], isto é, não vai haver intersecção da função identidade com a função.

FIM
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[pic]

2

5

7

x

y

[pic]

2

3

2

3

4