Atps algebra

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Sistemas Lineares

Do grego systema (sy significa junto e sta permanecer),sistema em matemática é o conjunto de equações que devem satisfazê-las simultaneamente.
Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de materiais no campo daMatemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas.
Este texto trata sobre equações lineares e inicia mostrando umaaplicação de matrizes e sistemas lineares. As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.
Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:
Exemplos de equações lineares
1. 4 x + 3 y - 2 z = 02. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3
3. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1
4. 4i x + 3 y - 2 z = 2-5i
Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x>0.
Exemplos de equações não-lineares
1. 3 x + 3y R[x] = -4
2. x2 + y2 = 9
3. x + 2 y - 3 z w = 0
4. x2 + y2 = -9
Solução de uma equação linear
Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear-------------------------------------------------
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1
se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é:
-------------------------------------------------
a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1
Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 naequação dada, teremos:
-------------------------------------------------
2×5 + 3×6 - 2×7 = 14

Sistemas de equações lineares
Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:
-------------------------------------------------
a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1
a21 x1 +a22 x2 +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn
onde
* x1, x2, ..., xn são as incógnitas;
* a11, a12, ..., amn são os coeficientes;
* b1, b2, ..., bm são os termos independentes.

Solução de um sistema de equações lineares
Uma sequência de números (r1,r2,...,rn) é solução do sistema linear:
-------------------------------------------------
a11 x1 +a12 x2 +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2
... ... ... ...
am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn
se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.
Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear:
-------------------------------------------------
2x + y = 4
x + 3y = 2
x + 5y = 2
pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, sesubstituirmos x=2 e y=0, os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.

Exemplos de sistema e soluções
Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção.
-------------------------------------------------
x + 2y = -1
2x - y = 8
Sistema com infinitas soluções: As equações linearesrepresentam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).
-------------------------------------------------
4x + 2y = 100
8x + 4y = 200
Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas....
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