Algebra

3 INVERSÃO DE MATRIZES
3.1 Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, que satisfaça a condição:

A.B=B.A=I
B é inversa de A e se representa por A-1:

A.A-1=A-1.A=I

3.2 Matriz singular e não-singular nãoUma matriz quadrada A=[aij] cujo determinante é nulo é uma matriz singular.
◦ A matriz singular não tem inversa.

Uma matriz quadrada A=[aij] cujo determinante é diferente de zero é uma matriz não-singular ou regular.
◦ A matriz não-singular sempre tem inversa.

3.3 Propriedades da matriz inversa
I. II. III. IV. V.

Se a matriz A admite inversa (det A≠0), esta é única; Se a matriz A é não-singular, sua inversa A-1 também é. A matriz inversa de A-1 é A; A matriz unidade I é não-singular (det I=1) e é a sua própria inversa: I=I-1; Se a matriz A é não-singular, sua transposta AT T T é (A −1 ) ; também é. A matriz inversa de A Se as matrizes A e B são não-singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz nãosingular. A matriz inversa de AB é a matriz B-1A-1.

3.4 Operações elementares
Denomina-se operações elementares de uma matriz as seguintes: I. Permutação de duas linhas (ou colunas); II. Multiplicação de todos os elementos de uma linha (ou coluna) por um número real diferente de zero; III. Substituição dos elementos de uma linha (coluna) pela soma deles com os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de zero.

3.5 Equivalência de matrizes
Dadas as matrizes A e B, de mesma ordem, dizse que a matriz B é equivalente à matriz A, e se representa por B∼A, se for possível transformar A em B por meio de uma sucessão finita de operações elementares.
1 3 5  A = 0 0 2    0 4 12  

3.6 Inversão de uma matriz por meio de operações elementares
A mesma sucessão finita de operações elementares que transformam a matriz A na matriz identidade I transforma a matriz I na matriz A-1, inversa de A.
◦ Para determinar, pois a inversa de A: a)