Algebra

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B-1

Apˆndice B
e

VETORES
B.1

Espa¸os Pontuais e Vetoriais
c

O espa¸o geom´trico em considera¸ao no estudo da mecˆnica do cont´
c
e

a
ınuo ser´ sempre o espa¸o
a
c
euclidiano tridimensional E , sendo seus elementos denominados pontos. Como, intuitivamente, a soma
de dois pontos n˜o possui significado algum, o espa¸o E n˜o ´ um espa¸o vetorial (vide defini¸˜o de
a
c
aec
ca
espa¸o vetorial a seguir). Entretanto, a diferen¸a entre dois pontos x e y pode ser definida como sendo
c
c
um vetor, ou seja,
v=y−x

x, y ∈ E .

(B.1)

v ´ um elemento de um espa¸o vetorial associado a E , como mostrado na Figura B.1 para uma regi˜o
e
c
a
B de E . O espa¸o vetorial formado por todas as diferen¸as entre pontos pertencentes a E ser´ chamado
c
c
a
de espa¸ovetorial (real) V (V ≡ 3 ). Da mesma forma, a soma entre um ponto e um vetor, ser´ definida
c
a
como um novo ponto, i.e.,
y=x+v

x ∈ E,

v∈V

(B.2)

Figura B.1: Pontos e vetores numa regi˜o B do espa¸o euclidiano.
a
c
Um espa¸o vetorial ´ um conjunto de elementos no qual as opera¸oes b´sicas de soma e multiplica¸˜o
c
e

a
ca
por escalar est˜o definidas, isto ´,
a
e
v+w ∈ Vαv ∈ V

v, w ∈ V
v ∈ V, α ∈

(B.3)

B.1. Espa¸os Pontuais e Vetoriais
c

B-2

Exemplo B.1 O conjunto V ≡ 3 = {(x, y, z ) | x, y, z ∈ } ´ um espa¸o vetorial quando as opera¸oes de
e
c

soma e multiplica¸˜o por escalar s˜o definidas de forma usual, i.e., dados v =(x1 , y1 , z1 ) e w =(x2 , y2 , z2 )
ca
a
v + w =(x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 );αv = α(x1 , y1 , z1 ) = (αx1 , αy1 , αz1 ).

o
Exemplo B.2 O conjunto Pn = {a0 + a1 t + a2 t2 + . . . + an tn ; ai ∈ } de todos os polinˆmios de grau
≤ n ´ um espa¸o vetorial se considerarmos as opera¸˜es usuais de soma entre polinˆmios e multiplica¸˜o
e
c
co
o
ca
destes por constantes, ou seja,
(p1 + p2 )(t) = p1 (t) + p2 (t);
(αp1 )(t) = αp1 (t).

Em adi¸˜o `s opera¸˜es b´sicas desoma e multiplica¸ao por escalar, o espa¸o V possui ainda a
ca a
co
a

c
opera¸˜o de produto interno, denotada por ·, · , associando a um par de elementos de V , um escalar α,
ca
ou seja,
, : V × V −→
u, v −→ α = u, v

(B.4)

de modo a respeitar as seguintes propriedades:
u, v = v, u ;

(B.5)

a1 u1 + a2 u2 , v = a1 u1 , v + a2 u2 , v ;

(B.6)

u, u > 0;

(B.7)

u, u =0

se e somente se u = 0.

(B.8)

A partir dessas propriedades, diferentes tipos de produtos internos podem ser definidos1. Entretanto,
o produto interno usual em V , denominado produto escalar e denotado como (·, ·), ´ definido por
e
3

(u, v ) = u · v =

ui vi = ui vi .

(B.9)

i=1

Exemplo B.3 No espa¸o vetorial V = 2 = {(x, y ) | x, y ∈ }, a opera¸˜o que associa a cada par dec
ca
vetores u =(x1 , y1 ) e v =(x2 , y2 ) o escalar u, v = 3x1 x2 + 4y1 y2 ´ um produto interno. De fato:
e
• u, v = 3x1 x2 + 4y1 y2 = 3x2 x1 + 4y2 y1 = v, u ;
• Se w =(x3 , y3 ), ent˜o: a1 u + a2 v, w = 3(a1 x1 + a2 x2 )x3 + 4(a1 y1 + a2 y2 )y3 = a1 (3x1 x3 + 4y1 y3 ) +
a
a2 (3x2 x3 + 4y2 y3 ) = a1 u, w + a2 v, w ;
2
• u, u = 3x1 x1 + 4y1 y1 = 3x2 + 4y1 > 0;
1
2
• u, u = 0 =⇒ 3x2 +4y1 = 0 =⇒ x1 = y1 = 0
1

1

e portanto u =(0, 0) = 0.

Em certos problemas pode ser conveniente definir outros tipos de produtos internos, como ser´ visto posteriormente.
a

B.1. Espa¸os Pontuais e Vetoriais
c

B-3

O m´dulo ou comprimento de um vetor v pode ser obtido calculando-se a sua norma a qual ´ definida
o
e
por
1

v = (v · v) 2 .
Dessa forma, o produto escalar dadopela rela¸ao B.9 pode ser escrito em termos das normas dos

vetores u e v da seguinte maneira:
(u, v) = u · v = u

v cos θ

0 ≤ θ ≤ π,

(B.10)

sendo θ o ˆngulo entre u e v.
a
Quando o produto interno entre dois vetores ´ nulo, diz-se que os mesmos s˜o ortogonais, denotandoe
a
se,
u · v = 0 =⇒ u ⊥ v.

(B.11)

Exemplo B.4 Considere o produto escalar do 3 . Determinemos o...
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