Algebra

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Álgebra linear
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Espaços vetoriais
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Definição
Um espaço vetorial é formado por:
1. Um conjunto  cujos elementos serão chamados de vetores;
2. Um corpo  cujos elementos serãodenominados escalares;
3. Uma operação  conhecida como adição de vetores;
4. Uma operação  chamada de multiplicação por escalar.
Neste wikilivro, será escrito simplesmente  para denotar 
Normalmente, o corpo K é o corpo dos números racionais, dos números reais ou dos números complexos.
Definição
Dizemos que  é um espaço vetorial sobre  quando as operações  e  satisfazem as seguintes propriedades:Adição
1. Para cada   (comutatividade)
2. Para cada   (associatividade)
3. Existe um vetor  tal que para cada   (neutro aditivo)
4. Para cada  existe  tal que  (inverso aditivo)
Multiplicação por escalar
1. Para cada  e cada   (distributividade)
2. Para cada  e cada   (distributividade)
3. Para cada  e cada   (associatividade)
4. Para cada   (neutromultiplicativo)
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Exemplos
*  e  são espaços vetoriais reais (ou seja, sobre o corpo ).
* O conjunto formado pelo único número real 0, ou seja, {0}, é um espaço vetorial sobre 
*  é um espaço vetorial sobre 
* Os exemplos acima são aplicáveis para qualquer corpo K, ou seja, são espaçosvetoriais sobre K: {0}, K e Kn.
* Seja  o conjunto dos números inteiros positivos, e S o conjunto de todas as funções de domínio  e contradomínio  Dadas f e g funções e λ um número real, podemos definir
(f + g) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real f(n) + g(n)
(λ f) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real λ f(n).
Ou seja, foram definidas asoperações de soma de vetores e produto de um escalar por um vetor em S. Como exercício, podem-se provar os axiomas, mostrando que S é um espaço vetorial. Este espaço vetorial é tão importante que tem um nome: ele é o espaço vetorial das sequências de números reais.
* O exemplo acima pode ser generalizado. Seja K um corpo qualquer, e I um conjunto qualquer (a letra I é porque este conjunto seráchamado de conjunto de índices). Então o conjunto KI, das funções de domínio I e contra-domínio K, torna-se naturalmente um espaço vetorial definindo-se para  

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Subespaços vetoriais
Definição
Seja  um espaço vetorial sobre o corpo  Um subespaço vetorial de  é um subconjunto  que também é umespaço vetorial sobre  com as mesmas operações (adição e multiplicação por escalar) de 
Equivalentemente, um subespaço vetorial de  é um subconjunto não-vazio  fechado em relação às operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, um subconjunto tal que
1. Para todos  tem-se 
2. Para qualquer escalar  e para todo  tem-se 

Exemplos
1.  é subespaço de 
2.  é subespaço de 3. Se  e  são subespaços vetoriais do espaço vetorial  então a interseção  é um espaço vetorial de 
4. De modo geral, a propriedade acima vale para interseções infinitas. Ou seja, se K é um conjunto não-vazio cujos elementos são subespaços vetoriais de V, então a interseção de todos elementos de K é um subespaço vetorial de V.
Observação
Os dois primeiros subespaços são chamadosde subespaços triviais de .

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Combinação linear
Definições
Definição
Seja  um espaço vetorial sobre um corpo  Um vetor  é dito combinação linear dos vetores  se existem escalares  tais que

Note-se que, pela definição, nem os λ nem os v precisam ser distintos.
Definição
Seja S um subconjunto do espaço vetorial V. Um vetor  é dito uma combinação...
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