Algebra

A.29 - Problemas Resolvidos

1) Calcular:

det A=

2
5
7

4
9
2

6
8
1

Solução

1) Desenvolvendo o determinante pela 1º linha e observando a alternância dos sinais que procedem os produtos, vem:

det A = 2 x

9

8

2

1

5

-4 x

7

8

+6 x

1

5

9

7

2

det A = 2(9 x 1 – 8 x 2) -4(5 x 1 – 8 x 7) + 6(5 x 2 – 9 x 7)

det A= 2(9-16) -4(5-56)+ 6(10-63)

det A= 2(-7) -4(-51)+ 6(-53)

det A= -14 + 204 – 318

det A= -128

2) Calcular o determinante do problema anterior pelo processo de triangulação.

Solução

det A=

2
5
7

4
9
2

6
8
1

L1 (½)

det A= 2 x

1
5
7

2
9
2

3
8
1

L2= L2 + L1 (-5)

det A= 2 x

1
0
7

2
-1
2

3
-7
1

L3= L3 + L1 (-7)

det A= 2 x

1
0
0

2
-1
-12

3
-7
-20

L2 (-1)

det A= 2 x (-1) x

1
0
0

2
1
-12

3
7
-20

L3= L3+L2(12)

det A= 2 x (-1) x

1
0
0

2
1
0

3
7
64

Mas o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao termo principal:

T= 1 x 1 x 64=64

Logo:

det A= 2 x (-1) x 64 det A= -128

Observação:

O cálculo de um determinante pelo processo de triangulação poderia ser feito com menos trabalho e mais rapidamente se, uma vez obtido o número 1 de uma coluna, as operações para obter os zeros dessa coluna não fossem indicadas uma de cada vez, e assim todas de uma só vez. Assim:

det A=

2
5
7

4
9
2

6
8
1

L1 (½)

det A= 2 x

1
5
7

2
9
2

3
8
1

L2= L2+L1 (-5)
L3= L3+L1 (-7)

det A= 2 x

1
0
0

2
-1
-12

3
-7
-20

L2(-1)

det A= 2 x (-1) x

1
0
0

2
1
-12

3
7
-20

L3= L3+L2 (12)

Det A= 2 x (-1) x 64
Det A= -128

A conveniência de se indicar de uma só vez as operações para se obter os zeros de cada coluna se tornará bem clara no cálculo de um determinante de ordem maior que 3, como se verá no problema seguinte.

3) Calcular pelo processo de triangulação:

det A