Algebra

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Matrizes
As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Nos assuntos ligados à álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas, observe:
[pic], matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna).

[pic], matriz de ordem 3 x 2. (3linhas e 2 colunas)

[pic], matriz de ordem 4 x 2. (4 linhas e 2 colunas)

[pic], matriz de ordem 1 x 4. (1 linha e 4 colunas)

As matrizes com número de linhas e colunas iguais são denominadas matrizes quadradas. Observe:
[pic], matriz quadrada de ordem 2 x 2.

[pic], matriz quadrada de ordem 3 x 3.

[pic], matriz quadrada de ordem 4 x 4.
Na matriz [pic] , temos que cada elementoocupa seu espaço de acordo com a seguinte localização:
O elemento 2 está na 1ª linha e 1ª coluna.
O elemento 5 está na 1ª linha e 2ª coluna.
O elemento 7 está na 2ª linha e 1ª coluna.
O elemento –9 está na 2ª linha e 2ª coluna.
Portanto, temos:
aij, onde i = linhas e j = colunas.
a11 = 2
a12 = 5
a21 = 7
a 22 = –9


Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada emsituações variadas. Por exemplo, vamos construir uma matriz de ordem 3 x 3, seguindo a orientação aij = 3i + 2j.
[pic]
 Vamos escrever a matriz B dada por (aij)4x4, de modo que i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j.
[pic]

Tipos de Matrizes
Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas.

►Matrizlinhas

Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo:

[pic]1 x 3

►Matriz coluna

Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo:

[pic]5 x 1

►Matriz nula

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhase colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:

[pic]

Podendo ser representada por 03 x 2.







►Matriz quadrada

Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo:

[pic]

Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.

[pic]


►Matrizdiagonal

Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo:

[pic]












►Matriz identidade

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principaldevem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:

[pic]



►Matriz oposta

Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:

[pic]


A matriz oposta a ela é:

[pic]


Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.


►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes

Dadauma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais.

[pic]

As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais.





Matriz inversa
Sabemos calcular o inverso de um número real e o inverso de uma matriz segue o mesmo conceito. Quando queremos encontrar o inverso de um número real temos que nos orientarpela seguinte definição:

Sendo t e g dois números reais, t será inverso de g, se somente se, t. g ou g. t for igual a 1.

Quando um número real é inverso do outro, indicamos o inverso com um expoente -1:
1 / 5 = 5-1, dizemos que 1 /5 é o inverso de 5, pois se multiplicarmos 1 / 5. 5 = 1

Dizemos que uma matriz terá uma matriz inversa se for quadrada e se o produto das duas matrizes for...
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