Algebra

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ETAPA 2
Determinante é uma função que associa um escalar a uma matriz quadrada. É um importante conceito matemático, usado, por exemplo, na solução de sistemas de equações lineares.
Determinante de uma matriz quadrada é um operador matemático que transforma essas matrizes em um número real.

Para a matriz quadrada de ordem 1 é o próprio elemento:

Se então o

Se então o

Note queas barras substituem os parênteses e existe o "det".
Para as matrizes de ordem 2, o determinante é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto da diagonal secundária.
Veja:
Dada a matriz

o determinante é

Para determinantes de ordem 3 pode-se usar a regra de Sarrus:
Dada uma matriz de ordem 3:

a) Repetem-se as duas primeiras colunas



b)Multiplicam-se os elementos das linhas paralelas à diagonal principal somando-se entre si:



c) Do total, diminui-se a multiplicação dos elementos das linhas paralelas à diagonal secundária:

d) Somando-se os seis termos, temos o determinante.

Exemplo:







Propriedades
1. O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;
2. O determinante deuma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(AT);
3. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;
4. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma dasparcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
5. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;
6. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;
7. Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinanteda nova matriz é −det(A);
8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;
9. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A;
10. Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);
11. Se A é invertível, então det(A−1) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível entãodet(A) ≠ 0;
12. Se A é ortogonal, então det(A) = ±1.

Determinantes de ordens superiores
Determinantes de terceira ordem ou superior podem ser calculados por decomposição. Seja uma matriz genérica 3×3:



Considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz. Cada elemento dessa linha é multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela eliminação da linha e da coluna que passampelo elemento. E o determinante da matriz 3×3 é a soma dessas parcelas, considerando sinal positivo para coluna ímpar e negativo para coluna par.



Na operação acima, os determinantes de segunda ordem são calculados de acordo com fórmula do tópico anterior. Com a aplicação desse procedimento em cascata, determinantes de quaisquer ordens podem ser calculados.

Algumas propriedades dosdeterminantes

A. Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas.
B. Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.
C. Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou uma linha ou coluna é nula, o determinante é nulo (k é um número qualquer).
D. Se os elementos deuma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência.
E. Um determinante não se altera se, aos elementos de uma linha ou coluna, são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna.

ETAPA 3
Para que uma equação seja considerada uma equação linear deverá ser escrita da seguinte forma geral:

Cada elemento...
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