Algebra linear

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Resumo das aulas teóricas de Álgebra Linear
Pedro Matias 2◦ Semestre 2007/08
I. Método de eliminação de Gauss 1. Uma equação linear nas n variáveis x1 , . . . , xn é uma equação da forma a1 x1 + . . . + an xn = b, onde a1 , . . . , an , b ∈ R. As variáveis x1 , . . . , xn também se designam por incógnitas. 2. Uma solução particular da equação linear a1 x1 + . . . + an xn = b é um conjunto denúmeros reais (s1 , . . . , sn ) que satisfazem a equação, ou seja, a1 s1 + . . . + an sn = b. O conjunto de todas as soluções da equação linear diz-se o conjunto solução ou a solução geral da equação. 3. Um sistema de equações lineares (SEL) é um conjunto finito de equações lineares nas n variáveis x1 , . . . , xn . Um SEL de m equações a n incógnitas (SEL m × n) escreve-se na forma   a11 x1    a21 x1 . .   .    am1 x1 + + + a12 x2 a22 x2 . . . am2 x2 + + + ... ... . . . ... + + a1n xn a2n xn . . . + amn xn = = b1 b2 . . . = bm

(1)

Se b1 = b2 = . . . = bm = 0, o SEL diz-se homogéneo. 4. Uma solução particular de um SEL m × n é um conjunto de n números reais (s1 , . . . , sn ) que é solução particular das m equações do SEL. O conjunto de todas as soluções de um SEL diz-se oconjunto solução ou a solução geral do SEL. 5. Qualquer SEL m × n satisfaz uma das três hipóteses seguintes: (i) não tem soluções: SEL impossível; (ii) tem solução única: SEL possível e determinado; (iii) tem infinitas soluções: SEL possível e indeterminado. 6. Para resolver SELs de uma forma eficaz e sistemática usamos o Método de Eliminação de Gauss. 1

7. A implementação do MEG baseia-se em doisprincípios: (i) Substituição do SEL inicial por outro SEL mais simples; (ii) Solução do SEL inicial = solução do SEL mais simples. 8. As operações elementares do MEG são as seguintes: (i) Multiplicação de uma equação do SEL por c ∈ R − {0}; (ii) Troca da ordem de duas equações do SEL; (iii) cli + lj . 9. Podemos codificar toda a informação de um SEL m × n num quadro de números formado peloscoeficientes constantes do SEL a que se dá o nome de matriz aumentada:   a11 a12 . . . a1n b1    a21 a22 . . . a2n b2   . . . . .   . . . . .  . . . .   . am1 am2 . . . amn bm (1) Escrever a matriz aumentada do SEL; (2) Localizar a coluna mais à esquerda que não tenha todas as entradas nulas; (3) Se necessário, trocar linhas de forma a que a entrada da primeira linha correspondente à colunamencionada na alínea anterior seja diferente de zero. (4) Somar múltiplos apropriados da primeira linha às restantes linhas de forma a que todas as entradas debaixo da entrada não nula se anulem. (5) Fixar a primeira linha e repetir o procedimento para a submatriz que resta. O MEG termina quando a matriz final é uma matriz em escada de linhas, ou seja, uma matriz que satisfaz as seguintes propriedades:- Todas as linhas nulas estão agrupadas na base da matriz; - Para quaisquer duas linhas consecutivas não nulas, a primeira entrada não nula da linha inferior está mais à direita que a primeira entrada não nula da linha superior. II. Matrizes 1. Uma matriz m × n é um conjunto rectângular de números constituido por m linhas e n colunas. O número na linha i e coluna j diz-se a entrada ij da matriz.O produto m × n chama-se a dimensão da matriz. 2. Usamos letras maiúsculas A, B, C, . . . para designar matrizes e letras minúsculas aij , bij , cij , . . . para designar as respectivas entradas ij. Também usamos a notação [A]ij para designar a entrada ij da matriz A, ou seja [A]ij = aij . 2

10. Os passos do MEG aplicados a um SEL são os seguintes:

3. As matrizes m×1 chamam-se vectorescoluna. As matrizes 1×n chamamse vectores linha. As matrizes n × n chamam-se matrizes quadradas. Se A é uma matriz quadrada n × n, então as entradas a11 , a22 , . . . , ann formam a diagonal principal de A. 4. Duas matrizes A, B são iguais se têm a mesma dimensão e todas as suas entradas são iguais, i.e., aij = bij , ∀i, j. 5. Sejam A, B duas matrizes m × n. A soma A + B é uma matriz m × n com...
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