Algebra Linear

Álgebra Linear

I – Matriz e Determinante

1. Introdução

Sendo m ≥ 1 e n ≥ 1, denominamos matriz de m linhas e n colunas, ao agrupamento de números organizados na forma de uma tabela.

Note:
- As matrizes são representadas por letras maiúsculas;
- Os elementos são representados por letras minúsculas;
- Usam-se colchetes ou parênteses para delimitar a matriz;
- Outra forma de representar: [], sendo i ≥ 1 e j ≥ 1.

Exemplos:

A = ; B = [1 2]; C = ; D =

A matriz A é dita quadrada, pois nº de linhas = nº de colunas;
A matriz B é dita linha, pois possui apenas uma linha;
A matriz C é dita coluna, pois possui apenas uma coluna;
A matriz D é dita retangular, pois nº de linhas ≠ colunas.

2. Tipos especiais de matrizes

Matriz Diagonal: Suponha A uma matriz quadrada. Os elementos dessa matriz, onde i = j, formam o que chamamos de diagonal principal. Se estes elementos retirados da matriz deixam a matriz somente com zeros, temos uma matriz diagonal.

Ex.: A =

Matriz identidade: uma matriz quadrada é chamada de identidade se os elementos de sua diagonal principal forem todos iguais a 1 e os demais iguais a zero.

Ex.: I = (elemento neutro da multiplicação de matrizes)

Matriz nula: uma matriz é chamada nula quando todos os seus elementos são iguais a zero.

Ex.: O = ; O = [0 0 0]

Matriz triangular
* Superior: matriz quadrada onde todos os elementos abaixo de sua diagonal principal são nulas.

Ex.: A =

* Inferior: matriz quadrada onde todos os elementos acima de sua diagonal principal são nulos.

Ex.: B =

Matriz simétrica: Uma matriz é dita simétrica se =

Ex.: B =

3. Operações com Matrizes

Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem (nº de linhas e de colunas iguais). Definimos a adição da matriz A = [] com a matriz B = [] à operação [] = [ + ]
Valem as propriedades:

- Comutativa: A + B = B + A
- Associatividade: A+(B+C) = (A+B)+C
- Elemento neutro: A + 0 = 0 +A, sendo 0 a matriz nula.
- Oposto: A + (-A) = (-A) + A = 0

* Seja A uma matriz e α um número