algebra linear

19110 palavras 77 páginas
Instituto Superior T´cnico e Departamento de Matem´tica a ´
Sec¸˜o de Algebra e An´lise ca a

´
Alguns Problemas e Exames Resolvidos de Algebra Linear
LEAmb, LEAN, LEMat, LQ, MEBiol, MEQ
1o Semestre 2008/2009
Prof. Paulo Pinto http://www.math.ist.utl.pt/∼ppinto/ Conte´ do u 1 Alguns problemas resolvidos
1.1 Resolu¸˜o de alguns exames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.2 Exames sem resolu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2
16
4

2 Consultar exames em: http://www.math.ist.utl.pt/∼ppinto/AL/exames.html 22

1

Alguns problemas resolvidos

1.1 O sistema linear


 x+z =3





x + 2y + 2z = 6






3y + 3z = 6

na forma matricial ´ e Consideremos ent˜o a a 
1 0

 1 2
0 3



   
1 0 1 x 3

   
 1 2 2  y  =  6 .
0 3 3 z 6 matriz aumentada e o consequente m´todo de elimina¸˜o e ca




1 0 1 | 3
1 0 1
1 | 3




2 | 6  −→  0 2 1 | 3  3−→  0 2 1
−L1 +L2
− 2 L2 +L3
0 3 3 | 6
0 0 3
3 | 6
2

Logo,



 x+z =3
 x=2










2y + z = 3 ⇔ y=1 









 3

3 z = 1. z=2 2

1.2 O sistema linear

´ equivalente a e de Gauss:

| 3

| 3 .
| 3
2


 3z − 9w = 6





5x + 15y − 10z + 40w = −45





 x + 3y − z + 5w = −7






0 0
3
−9 


 5 15 −10 40  

1 3 −1
5

x y z w 



6

 

 =  −45  .

−7

Consideremos ent˜o a matriz aumentada e o consequente m´todo de elimina¸˜o de Gauss: a e ca 



0 0
3
−9 |
6
1 3 −1 5 | −7




 5 15 −10 40 | −45  −→  1 3 −2 8 | −9  −→
L1 ↔L3
−L1 +L2
1
1 3 −1
5 | −7
0 0 3 −9 | 6
L2
5




1 3 −1 5 | −7
1 3 −1 5 | −7




−→  0 0 −1 3 | −2  −→  0 0 −1 3 | −2  .
3L2 +L3
0 0 3 −9 | 6
0 0 0 0 | 0
2

Logo,


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