Algebra linear

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Álgebra linear e suas aplicações
Tradução da 4a edição norte-americana

Gilbert Strang
Massachusetts Institute of Technology
Tradução

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Revisão Técnica

Germano Abud de Rezende
Mestre em Matemática pelo IMECC/Unicamp. Professor Assistente da UFU.

Austrália • Brasil • Japão • Coreia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos

Sumário
Capítulo 1MATRIZES E ELIMINAÇÃO DE GAUSS 1
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Introdução 1 Geometria das equações lineares 3 Exemplo de eliminação de Gauss 11 Notação matricial e multiplicação de matrizes Fatores triangulares e trocas de linhas 32 Inversas e transpostas 45 Matrizes especiais e aplicações 59 Exercícios de revisão 65 19

Capítulo 2

ESPAÇOS VETORIAIS 69
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Espaços vetoriais esubespaços 69 Resolução de Ax = 0 e Ax = b 77 Independência linear, base e dimensão 92 Os quatro subespaços fundamentais 103 Grafos e redes 114 Transformações lineares 125 Exercícios de revisão 137

Capítulo 3

ORTOGONALIDADE 141
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Vetores e subespaços ortogonais 141 Cossenos e projeções em retas 152 Projeções e mínimos quadrados 160 Bases ortogonais e Gram-Schmidt 174Transformada rápida de Fourier 188 Exercícios de revisão 198

Capítulo 4

DETERMINANTES 201
4.1 4.2 4.3 4.4 Introdução 201 Propriedades dos determinantes 203 Fórmulas para os determinantes 210 Aplicações dos determinantes 220 Exercícios de revisão 230

vi

Álgebra linear e suas aplicações

Capítulo 5

AUTOVALORES E AUTOVETORES 233
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Introdução 233 Diagonalização de umamatriz 245 Equações das diferenças e potências Ak 254 Equações diferenciais e eAt 266 Matrizes complexas 280 Transformações de semelhança 293 Exercícios de revisão 307

Capítulo 6

MATRIZES DEFINIDAS POSITIVAS 311
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Mínimos, máximos e pontos de sela 311 Testes para a definição positiva 318 Decomposição de valor singular 331 Princípios mínimos 339 Método dos elementosfinitos 346

Capítulo 7

CÁLCULOS COM MATRIZES 351
7.1 7.2 7.3 7.4 Introdução 351 Norma da matriz e número de condição Cálculo de autovalores 359 Métodos iterativos para Ax = b 367 352

Capítulo 8

PROGRAMAÇÃO LINEAR E TEORIA DOS JOGOS 377
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Desigualdades lineares Método simplex 382 Problema dual 392 Modelos de rede 401 Teoria dos jogos 407 377

Apêndice A INTERSEÇÃO, SOMAE PRODUTO DOS ESPAÇOS 415 Apêndice B A FORMA DE JORDAN 423
Fatoração de matrizes 429 Glossário: um dicionário de álgebra linear 431 Códigos do MATLAB 437 Índice remissivo 439 Álgebra linear em poucas palavras 445*

* As soluções para os exercícios selecionados estão disponíveis na página do livro no site da Editora Cengage Learning (www.cengage.com.br).

Prefácio
A revisão deste livro foium desafio especial por um motivo muito agradável. Muitas pessoas leram esta obra, ensinaram com ela e até mesmo se apaixonaram por ela. O espírito do livro não poderia mudar nunca. Este texto foi escrito para ajudar o ensino de álgebra linear a se manter à altura da enorme importância da disciplina – que continua crescendo. Um passo adiante certamente era possível e desejável – adicionar novosproblemas. O ensino em todos esses anos exigiu centenas de novas questões de estudo (especialmente de desafios lançados na internet). Acredito que você aprovará a escolha dos problemas adicionados. As questões são uma mistura de explicação e cálculo – duas abordagens complementares no aprendizado desta bela disciplina. Acredito, pessoalmente, que muitas pessoas precisem mais de álgebra linear do quede cálculo. Isaac Newton poderia não concordar! Mas ele não ensina matemática no século XXI (e talvez Newton não fosse um grande professor, mas lhe daremos o benefício da dúvida). Certamente, as leis da física são bem expressas por equações diferenciais. Newton precisava do cálculo – muito bem! Mas o escopo da Ciência, da Engenharia e da Administração (e da vida) é hoje muito mais amplo e a...
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