Algebra linear atps
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ÍndiceMatrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Resumo Teórico .................................................................................................................................1
Exercícios............................................................................................................................................5
Dicas .................................................................................................................................................6
Resoluções ........................................................................................................................................7
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Resumo Teórico
Matrizes
Representação a a
A = (a ij) 2 x 3 pode ser representada por A = 11 12
a 21 a 22
a 13 a 23
Matriz Transposta
a b c
A =
⇒
1 2 3
A
t
a 1
= b 2
c 3
Igualdade de Matrizes
A = B ⇔ (aij) = (bij) para todo i e todo j.
Adição de Matrizes
C = A + B ⇔ (cij) = (aij) + (bij) para todo i e todo j.
Propriedades
a. –A = (–aij) para todo i e j
b. A + B = B + A
c. A + O = A
d. A + (B + C) = (A + B) + C
e. B – A = B + (–A)
Multiplicação de Matriz por Número
a b c
3a 3b 3c
A =
⇒ 3A = 3 6 9
1 2 3
1
Multiplicação de Matrizes
a b x y ax + bz ay + bt
c d • z t = cx + dz cy + dt
Propriedades
a. Em geral A.B ≠ B.A
b. A(BC) = (AB)C
c. A(B + C) = AB + AC
d. (A + B)C = AC + BC
e. AI = IA = A, I matriz identidade
Matriz Quadrada
Número de linhas = número de colunas
Determinante
Matriz 2x2 ab a b
A =
⇒ det(A) = c d = ad – bc
c d
Matriz 3x3: Regra de Sarrus a b ca b
a b c
A = d e f ⇒ det(A) = d e f d e = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi
g h ig h
g h i
Matriz Inversa (A –1)
A.A–1 = A–1.A = 1
a. Só existe para matrizes quadradas
b. Só existe A–1 quando det(A) ≠ 0 e neste caso det( A –1)