Atps algebra linear

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Álgebra Linear: ATPS Etapa 1

Pesquisa de Bibliografias individuais

Anderson
CARVALHO, João Pitombeira de. Introdução à álgebra Linear. Rio de Janeiro, 1972.

Marcelo
JANICH, Klaus. Álgebra Linear. LTC editora, 1994.

Paulo
CALLIOLI, Carlos A. Álgebra Linear e Aplicações. 6ª Ed. São Paulo: Atual Editora, 1990.

Rafael
STEINBRUCH, Alfredo. Introdução à Álgebra Linear. São Paulo: McGraw – Hill, 1990.



















1º Definição de Determinante:

É a soma dos produtos obtidos ao realizar as permutações possíveis dentro da matriz. Exemplo: uma matriz de ordem 2, o determinante é dado por (a11. a22 – a12 . a21).

det A = 2 (16 - 10) - 3 (4 - 6) + 6 (5 - 12)
det A = 2 (6) - 3 (-2) + 6 (-7)
det A = 12 + 6 - 42
det A = -24

2º Exemplos dasPrincipais Propriedades dos Determinantes:

I - Se uma linha ou coluna tiver todos os números iguais a 0, o determinante será 0.

Exemplo:
A= 2 3 0
1 2 0 = DET A=0
2 0 0

II - Se a matriz tiver duas linhas ou colunas totalmente iguais ou proporcionais, o determinante será 0.

Exemplo 1:
A= 1 3 3
2 4 4 = DET A= 0
3 3 3


Exemplo 2:A= 1 4 2
2 8 4 = DET A= 0
3 6 6
(C1 x 2 = C3)


III - Se temos uma matriz triangular (todos os números abaixo da diagonal principal sejam iguais a zero) o determinante será o produto da diagonal principal.

Exemplo:
A= 2 3 6
0 1 4 = DET A= 4
0 0 2

3 º Exemplo das matrizes calculadas

A = 2 4 DET A= (a11.a22 - a12.a21)
6 8 DET A= 16-24
DETA= -8


* Resolvendo pela 1ª linha *
A = 2 3 6 = 2 4 2 - 3 1 2 + 6 1 4
1 4 2 5 4 3 4 3 5
3 5 4
DET A = 2(16-10) - 3(4-6) + 6 (5-12)
DET A = 2(6) - 3(-2) + 6 (-7)
DET A = 12+6-42
DET A = -24


Definições:

Equação Linear
É toda equação que possuem variáveis e apresenta naseguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.

Exemplos:
x + y + z = 20
2x –3y + 5z = 6
4x + 5y – 10z = –3
x – 4y – z = 0

Sistema Linear
Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.

Exemplos:Sistema linear com duas equações e duas variáveis.
x + y = 3
x – y = 1

Sistema linear com duas equações e três variáveis.
2x + 5y – 6z = 24
x – y + 10z = 30

Sistema linear com três equações e três variáveis.
x + 10y – 12z = 120
4x – 2y – 20z = 60
–x + y + 5z = 10




Sistema linear com três equações e quatro variáveis.
x – y – z + w = 10
2x + 3y + 5z – 2w = 21
4x – 2y – z + w =16

Solução de um sistema linear
Dado o sistema:
x + y = 3
x – y = 1

Dizemos que a solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:
x = 2 e y = 1
2 + 1 = 3 3 = 3
2 – 1 = 1 1 = 1

Dado o sistema:
2x + 2y + 2z = 20
2x – 2y + 2z = 8
2x – 2y – 2z = 0

Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, poisele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 20 = 20
2 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 8 = 8
2 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 0 = 0

Classificação de um sistema linear

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – SistemaPossível e Determinado – possui apenas uma solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.

Associando um sistema linear a uma matriz

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:

O sistema:
x + y = 3
x – y = 1...
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