Algebra de boole

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Faculdade sulamericana – FASAM
Sistemas de Informação
Técnicas de programação II
professor edjalma

João Paulo de Sousa Stival

Álgebra de boole

Goiânia
2011

Introdução
 
Na matemática e na ciência da computação, a álgebra de boole (também conhecida como "Álgebras Booleanas") são estruturas algébricas que "capturam a essência" das operações lógicas E, OU e NÃO, bemcomo das operações da teoria de conjuntos soma, produto e complemento. Ela também é o fundamento da matemática computacional, baseada em números binários.
Receberam o nome de George Boole, matemático inglês, que foi o primeiro a defini-las como parte de um sistema de lógica em meados do século XIX. Mais especificamente, a álgebra booleana foi uma tentativa de utilizar técnicas algébricas para lidarcom expressões no cálculo proposicional. Hoje, as álgebras booleanas têm muitas aplicações na electrônica. Foram pela primeira vez aplicadas a interruptores por Claude Shannon, no século XX.
Os operadores da álgebra booleana podem ser representados de várias formas. É frequente serem simplesmente escritos como E, OU ou NÃO (são mais comuns os seus equivalentes em inglês: AND, OR e NOT). Nadescrição de circuitos também podem ser utilizados NAND (NOT AND), NOR (NOT OR) e XOR (OR exclusivo). Os matemáticos usam com frequência + para OU e . para E (visto que sob alguns aspectos estas operações são análogas à adição e multiplicação noutras estruturas algébricas) e representam NÃO com uma linha traçada sobre a expressão que está a ser negada.

Álgebra de Boole

A álgebra de Boole é umconjunto de postulados e operações lógicas com variáveis binárias desenvolvido pelo matemático e filósofo inglês George Boole (1815-1864). As operações básicas dos circuitos digitais são fundamentadas nos seus conceitos, que inclusive guardam alguma (mas não total) semelhança com a álgebra comum dos números reais.

Variáveis e operadores básicos

Variáveis

Uma variávelbooleana representa um dígito binário, ou seja, só pode ter os valores 0 ou 1. No conceito matemático, o domínio dessa variável pode ser definido como o conjunto

B = {0, 1}

Portanto, se X é uma variável booleana, X B.

São comuns, para os valores 0 e 1, as designações falso e verdadeiro, respectivamente.

Uma variável booleana pode ter mais de um dígito binário. Nessecaso, seu domínio pode ser dado por todas as combinações possíveis de valores 0 e 1 dos dígitos. Exemplo: uma variável de 8 bits (algumas vezes denominada palavra de 8 bits) permite 28 = 256 combinações.

Operações básicas

As operações fundamentais da álgebra de Boole têm semelhança com operações aritméticas comuns, inclusive alguns símbolos são idênticos, mas não sãonecessariamente coincidentes:

1) Operação OU

É similar à adição comum, mas a correspondência não é plena. Símbolo usual é o mesmo da adição. Exemplo (lê-se X igual a A ou B):

X = A + B

Outro símbolo, comum em linguagem de programação, é a barra vertical:

X = A | B

2) Operação E

É similar à multiplicação comum e há correspondência, como poderáser visto adiante. Símbolo usual é o mesmo da multiplicação. Exemplo (lê-se X igual a A e B):

X = A · B

Muitas vezes, também de forma semelhante à álgebra comum, o sinal de ponto é suprimido:

X = AB

O caractere e comercial (&) é usado em algumas linguagens:

X = A & B

3) Operação NÃO

Também denominada negação ou complemento, pode ser consideradasimilar ao negativo da álgebra comum. Entretanto, não há correspondência plena porque a álgebra de Boole não usa sinal negativo. Símbolo usual é uma barra acima (ou antes) da variável. Exemplo (lê-se X igual a não A):

X = A

Alguns outros símbolos são sinal de exclamação e apóstrofo:

X = !A
X = A'

Postulados e algumas identidades

Os postulados da álgebra de Boole...
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