Algebra boleana

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2 Álgebra Booleana e Circuitos Lógicos
Uma álgebra Booleana pode ser definida com um conjunto de operadores e um conjunto de axiomas, que são assumidos verdadeiros sem necessidade de prova. Em 1854, George Boole introduziu o formalismo que até hoje se usa para o tratamento sistemático da lógica, que é a chamada Álgebra Booleana. Em 1938, C. E. Shannon aplicou esta álgebra para mostrar que aspropriedades de circuitos elétricos de chaveamento podem ser representadas por uma álgebra Booleana com dois valores. Diferentemente da álgebra ordinária dos reais, onde as variáveis podem assumir valores no intervalo (-∞;+∞), as variáveis Booleanas só podem assumir um número finito de valores. Em particular, na álgebra Booleana de dois valores, cada variável pode assumir um dentre dois valorespossíveis, os quais podem ser denotados por [F,V] (falso ou verdadeiro), [H,L] (high and low) ou ainda [0,1]. Nesta disciplina, adotaremos a notação [0,1], a qual também é utilizada em eletrônica digital. Como o número de valores que cada variável pode assumir é finito (e pequeno), o número de estados que uma função Booleana pode assumir também será finito, o que significa que podemos descrevercompletamente as funções Booleanas utilizando tabelas. Devido a este fato, uma tabela que descreva uma função Booleana recebe o nome de tabela verdade, e nela são listadas todas as combinações de valores que as variáveis de entrada podem assumir e os correspondentes valores da função (saídas).

2.1 Operações Básicas da Álgebra Booleana (ou Álgebra de Chaveamento)
Na álgebra Booleana, existem trêsoperações ou funções básicas. São elas, operação OU, operação E e complementação. Todas as funções Booleanas podem ser representadas em termos destas operações básicas.

2.1.1 Operação OU (Adição Lógica)
Uma definição para a operação OU, que também é denominada adição lógica, é: “A operação OU resulta 1 se pelo menos uma das variáveis de entrada vale 1”. Como uma variável Booleana ou vale 1 ou vale0, e como o resultado de uma operação qualquer pode ser encarado como (ou atribuído a) uma variável Booleana, basta que definamos quando a operação vale 1. Automaticamente, a operação resultará 0 nos demais casos. Assim, pode-se dizer que a operação OU resulta 0 somente quando todas as variáveis de entrada valem 0. Um símbolo possível para representar a operação OU é “+”, tal como o símbolo daadição algébrica (dos reais). Porém, como estamos trabalhando com variáveis Booleanas,

Introdução aos Sistemas Digitais (v.2001/1)

José Luís Güntzel e Francisco Assis do Nascimento

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sabemos que não se trata da adição algébrica, mas sim da adição lógica. Outro símbolo também encontrado na bibliografia é “∨”. Listando as possibilidades de combinações entre dois valores Booleanos e osrespectivos resultados para a operação OU, tem-se: 0+0 0+1 1+0 1+1 = = = = 0 1 1 1

Note que a operação OU só pode ser definida se houver, pelo menos, duas variáveis envolvidas. Ou seja, não é possível realizar a operação sobre somente uma variável. Devido a isso, o operador “+” (OU) é dito binário. Nas equações, não costuma-se escrever todas as possibilidades de valores. Apenas adotamos uma letra(ou uma letra com um índice) para designar uma variável Booleana. Com isso, já se sabe que aquela variável pode assumir ou o valor 0 ou o valor 1. Então, supondo que queiramos demonstar o comportamento da equação A+B (lê-se A ou B), poderíamos fazê-lo utilizando uma tabela verdade, como segue: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A+B 0 1 1 1

Da mesma forma, podemos mostrar o comportamento da equação A+B+C (lê-seA ou B ou C) por meio de uma tabela verdade. Como na equação há somente o símbolo “+”, tratase da operação OU sobre três variáveis. Logo, pode-se aplicar diretamente a definição da operação OU: o resultado será 1 se pelo menos uma das variáveis de entrada valer 1. A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 A+B+C 0 1 1 1 1 1 1 1

É importante notar que, devido ao fato de haver...
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