Ad 1 de álgebra unisul

| Atividade de avaliação à distância 1 (AD1) |

Unidades: 1 e 2

Questão 1: Suponha a um número inteiro. Se o resto da divisão de a por 8 é 5, mostre que o resto da divisão de a por 4 é 1.

Resposta:

Pelo algoritmo da divisão temos: a=b∙q+r⇒a=8∙q+5⇒a=4∙2∙q+4+1=4∙2∙q+1+1. Se fizermos q'=2∙q+1 tem-se que a=4∙q'+1. Portanto, o resto da divisão de a por 4 é igual a 1.

(Valor da questão: 2,0 pontos)

Questão 2: Seja x um número inteiro maior que 1, mostre que MDC(2x+1, 3x+1) =1.

Resposta:
Sabemos que
2x+1=3x+1-x⇒2x+1=3x+1∙1q+-xr.

3x+1=-xr∙-3q1+1r1

r=1r1∙rq2+0⇒r=1∙r

Uma das propriedades do mdc garante que mdc2x+1,3x+1=mdc3x+1,r=mdcr,r1 e com isso podemos concluir que o mdc2x+1,3x+1=1.

(Valor da questão: 2,0) Questão 3: Verifique se a relação R sobre NxN (N cartesiano N) definida por (x,y) R (z,w) se, e somente se, x+y = z+w, é uma relação de equivalência. Resposta: Para ser uma relação de equivalência ela deve ter a propriedade reflexiva, simétrica e transitiva. 1. Reflexiva Seja x,y∈N×N um elemento qualquer. Então, x,yRx,y é reflexiva já que x+y=x+y. 2. Simétrica Sejam x,y,z,w∈N×N. Então x,yRz,w é simétrica, pois x+y=z+w⇒z+w=x+y. Portanto, z,wRx,y. 3. Transitiva Sejam x,y,z,we u,v∈N×N. Se tivermos x,yRz,w e z,wRu,v teremos x+y=z+w z+w=u+v. Somando as duas igualdades temos x+y+z+w=z+w+u+v⇒x+y+z+w=u+v+z+w⇒x+y=u+v. Logo temos que x,yRu,v, portanto a relação é transitiva. Como a relação satisfaz as três condições acima podemos afirmar que esta relação é de equivalência. (Valor da questão: 2,0)

Questão 4: Determine os valores de x que satisfaça a equação 3x ≡ 2 (mod 4). Resposta: 3x≡2 mod 4⇒43x-2⇒3x-2=4∙q⇒3x=4∙q+2⇒3x=3∙q+q+2 Como 2 e 4 são primos entre si com 3, então x=4k+2. Considerando k∈⋯,-2,-1,0,1,2,⋯ temos x=⋯,-6,-2,2,6,10,⋯. (Valor da questão: 2,0)

Questão 5: Você, como futuro professor de matemática deve estar atento aos movimentos governamentais