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Matemática Aplicada Profª. Analice Costacurta Brandi

Revisão de Matrizes e Determinantes
Matrizes
1) Definição: Matriz é uma tabela, de modo que seus elementos – números reais – estão dispostos no cruzamento de uma linha com uma coluna. 2) Representação: uma matriz é representada por letra maiúscula, sendo que Amxn indica a matriz A de m linhas e n colunas. Cada elemento é representado poraij, ou seja, a está localizado na linha i e na coluna j. Exemplo: A3x2 indica a matriz formada por 3 linhas e 2 colunas. O elemento a12 está localizado na linha 1 e na coluna 2. Representação por termo geral: uma matriz pode ser representada por uma lei, um termo geral, em que todos os seus elementos são gerados por essa lei. Exemplo: A = (aij)3x2, em que aij = 2i + j. Como descrevê-la?  a11 a12 1° - Monte a matriz indicando as posições: A = a 21 a 22     a 31 a 32    2° - Leia “i” como linha, “j” como coluna, e “aij” como “cada elemento”.  2(1) + 1 2(1) + 2  3 4 A = 2(2) + 1 2(2) + 2 = 5 6      2(3) + 1 2(3) + 2  7 8      3) Matrizes Especiais (exemplificando)

8 3   3.3) Matriz nula: todos os seus elementos são iguais a 0 3.4) Matriz quadrada: n°linhas = n° colunas 1 0 0   − 2 0 0 1 0   0 1 0 3.5) Matriz diagonal:  3.6) Matriz identidade: I1 = [1] , I2 =  , I3 = 0 1 0 etc.    0 1   0 0 1   0 0 3    
3.1) Matriz linha

[2

− 1 5]

3.2) Matriz coluna

− 2 7 10  − 2 0 0 3.7) Matriz triangular:  0 1 − 9 ,  4 1 0 etc.      0 0 3   13 0 3     − 2 10   0  2 3.9) Matriz Anti-Simétrica  0 − 3 (A = -At)  − 10 3 0   

− 1 3.8) Matriz Simétrica  0  10 

0 4 3

10  3  (A = At)  2 

4) Igualdade: Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, forem de mesma dimensão e possuírem os mesmos elementos nas mesmas posições.

 a11 Exemplo: A = a 21   a 31 

a12  a 22  e B =  a 32  

 3 4 5 6 . Se A = B, então a = 3, a = 4, ..., a = 8. 11 12 32   7 8  

5) Operações (exemplificando) 5.1) Transposta: linha vira coluna  3 4 3 5 7 t At =  A = 5 6   Repare que A tem dimensão 3x2 enquanto que A tem dimensão 2x3.   4 6 8   7 8  5.2) Soma 3 4 − 2 14   1 18 5 6 +  11 − 6 = 16 0  Repare que é necessário que ambas possuam a mesma dimensão.       7 8   − 4 0   3 8        5.3) Diferença 3 4 − 2 14  5 − 10 5 6 –  11 − 6 = − 6 12  Repare que é necessário que ambas possuam a mesma dimensão.       7 8  − 4 0   11 8        5.4) Multiplicação por um n° real − 2 14   − 6 42  3x  11 − 6 =  33 − 18 Repare que todos os elementos da matriz foram multiplicados por 3.         0  − 4 0  − 12 5.5) Matriz oposta − 2 14  Se A =  11 − 6 então – A =   − 4 0  
 2 − 14 − 11 6  é a matriz oposta de A. Repare que A + (-A) = 0 (matriz nula).    4 0   

5.6) Produto: atenção à condição para que ele exista! 2 − 1 2.(−2) + (−1).3 2.11 + (−1)1 2.4 + (−1)2   − 7 21 6  5 3  . − 2 11 4 =  5(−2) + 3.3 5.11 + 3.1 5.4 + 3.2  =  − 1 58 26  3 1 2        2 x 3  7(−2) + (−4)3 7.11 + (−4)1 7.4 + (−4).2 − 26 73 20 7 − 4 3 x 2      

Observe que

E lembre-se que não existe divisão de matrizes!!

6) Propriedades 6.1) Da transposta a) (At)t = A b) (A + B)t = At + Bt

c) (kA)t = k.At

d) (A.B)t = Bt.At

6.2) A adição comuta e associa: A + B = B + A e A + (B + C) = (A + B) + C. 6.3) A multiplicação por um número associa e distribui: k.(p.A) = (k.p).A e k(A + B) = kA + kB. 6.4) Da multiplicação dematrizes, satisfeita a condição dita em 5.6: a) A.I = I.A =A b) Associa (AB)C = A(BC) c) Distribui à direita (A + B)C = AC + BC e à esquerda X(Y + Z) = XY = XZ d) Associa na multiplicação por um número: (kA)B = A(kB) = k(AB) Alerta: a) A multiplicação de matrizes não comuta, ou seja, AB ≠ BA.  5 1 2 − 1 b) No entanto, alguns casos escapam, como se A =   e B = − 3 2 . Verifique!!   3 5...
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