Vibração livre com amortecimento viscoso a 1 grau de liberdade

Vibração livre com amortecimento viscoso a 1 grau de liberdade

O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia. Como modelo mais simples de amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso, assim chamado por representar a força dissipativa proporcionada por um fluido viscoso. Esta força tem como característica principal ser proporcional à velocidade relativa entre assuperfícies em movimento quando existe um fluido separando-as. Esta proporcionalidade garante que a equação diferencial do movimento não perderá nenhuma de suas características .

A força de amortecimento viscoso tem como expressão

(1)

onde c é a chamada constante de amortecimento.

Equação do movimento

Figura 1- Sistema de um grau de liberdade com amortecedor viscoso

A Fig. 1 mostra o esquema de um sistema de um grau de liberdade com amortecimento. Se a força de amortecimento for de natureza viscosa, é igual à expressão (1), o diagrama de corpo livre da Fig. 1, ao se aplicara 2ª Lei de Newton, permite que se escreva a equação

que pode ser escrita na forma

(2)

A solução da equação (2) tem forma que, introduzida na equação, resulta em (

que tem solução não trivial quando a equação característica

+ cs + k = 0 (3) for satisfeita. Isto só é possível se as raízes forem

(4)

Como as duas raízes satisfazem a equação diferencial (2), a solução resultante será uma combinação linear das mesmas na forma

(5)

Onde e são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema.

Constante de Amortecimento Crítico
A constante de amortecimento crítico cc é definida como o valor de c que faz com que o discriminante Δ da expressão (4) se anule. Isto porque, é do sinal deste discriminante que depende a natureza das raízes: Δ > 0 implica em raízes reais enquanto que para Δ < 0 as raízes formarão um par complexo. Δ = 0, se apresenta como o limite entre estas duas situações distintas. Tem-se então