Vetores

Lista 3 - Projeções e Ângulos entre Vetores

Definição 1 (Projeção Ortogonal). Dados dois vetores u, v ∈ R2 , a projeção ortogonal de u na reta que que contém o vetor v é u, v projv u =
v.
(1) v, v
Definição 2 (Ângulo entre Vetores). O ângulo θ entre dois vetores não-nulos u, v ∈ R2 é aquele entre 0 e π que satisfaz u, v cos θ =
.
(2) u v
Exercício 1. Determine a projeção ortogonal projv u , esboçe os vetores e calcule o ângulo entre u e v nos seguintes casos:
a) u = (1, 1) e v = (1, 0);
b) u = (1, 0) e v = (1, 1);
c) u = (1, 1) e v = (−1, 1);
d) u = (1, 1) e v = (−1, −1);
√

e) u = (

3 1
2 , 2)

√

ev=(

√
2
2
,
−
2
2 );

f) u = (2, 1) e v = (1, 3);
g) u = (3, 4) e v = (−1, −1).
Exercício
2. Considere o vetor v = (1, 1) ∈ R2 . Mostre que, para qualquer λ ∈ R, a projeção do vetor
√
√ √
√
2
2
2
2
u = ( 2 − λ, 2 + λ) na direção de v é projv u = ( 2 , 2 ). Esboçe no plano os vetores u, v e projv u para algum λ ∈ R.
Exercício 3. Dado o vetor v = (−1, 3) ∈ R2 , mostre que projv u = ( 21 , − 23 ) se u = ( 12 + 3λ, − 32 + λ), para todo λ ∈ R.
Exercício 4. Dado o vetor v = (2, −4) ∈ R2 , encontre vetores u, w ∈ R2 , que pertencem respectivamente aos eixos x e y, tais que projv u = projv w = (−1, 2).
Exercício 5. Dado v = (−2, −2), encontre todos os vetores u ∈ R2 tais que projv u = (1, 1).
Exercício 6. Dado v = (1, −2), encontre todos os vetores u ∈ R2 tais que projv u = (2, −4).
Exercício 7. Dado o vetor v = (2, 1), existe um vetor u ∈ R2 tal que projv u = (1, 2). Justifique sua resposta.
√
Exercício 8. Verifique que, para todo √ λ > 0, os vetores u = (λ 3, λ) e v = (1, 1) formam um ângulo de 15o .
Verifique que os vetores v e w = (λ, λ 3) também formam um ângulo de 15o .
√
Exercício 9. Dados os vetores u = (1, 0), v = (1, 3) e w = (0, 2), mostre que os ângulos entre u e v e o ângulo entre v e w somam 90o .
√
Exercício 10. Mostre que, √ para todo λ > 0, o vetor v = (− 3, 3) forma um ângulo de 30o com