Vetores

ÂNGULO DE DOIS VETORES * Se θ = 180º, u e v têm a mesma direção e sentidos opostos. * Se θ = 0, u e v têm a mesma direção e o mesmo sentido. * Se θ = 90º, u e v são ortogonais, isto é, u  v. * O vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor. * Se u é ortogonal a v e m é um número real qualquer, u é ortogonal a m.v * O ângulo formado pelos vetores u e -v é o suplemento do ângulo de u e v.

OPERAÇÕES COM VETORES NO ESPAÇO:
1. Soma vetorial:
Dados os vetores u= (x1,y1,z1) e v= (x2,y2,z2), a soma vetorial é definida por: u + v= (x1+x2, y1+y2,z1+z2) 1.1. Propriedades: * Comutativa: u+v=v +u * Associativa: (u+v) + w=u+(v+ w) * Elemento neutro ou vetor nulo (0): u + 0= 0. * Elemento simétrico (oposto): se u= (x1,y1,z1), o simétrico de u, indicado por -u = (-x1,-y1,-z1), tal que: u+ -u=0.
2. Subtração vetorial:
Dados os vetores u= (x1,y1,z1), e v= (x2,y2,z2), a subtração vetorial é definida por: u- v=u+(-v)=(x1-x2, y1-y2,z1-z2)
3. Multiplicação de um escalar por um vetor:
Dados o número real a e o vetor u= (x1,y1,z1), tem-se que: a. u= (a.x1,a.y1,a.z1).
3.1. Propriedades: * Distributiva: au+v=au+a.v * a+bu= au+bu * a.b.u=b.au=(ab)u * 0.u=0; a.0=0 * 1u= u

VETOR DETERMINADO POR DOIS PONTOS: * Dados os pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2), o vetor AB é definido por: AB=B-A.

MÓDULO ou NORMA ou MAGNITUDE DE UM VETOR: u=x2+y2+ z2

VERSOR DE UM VETOR: * Dado o vetor v= (x1,y1,z1), o versor u do vetor v é u=vv.

VETORES PARALELOS OU COLINEARES: * Dados os vetores u= (x1,y1,z1) e v= x2,y2,z2, eles são paralelos ou colineares se: * u=k.v ou x1x2=y1y2=z1z2=k

VETORES CANÔNICOS: * Vetores no R2: * i=1,0,j =(0,1). * v= x,y=x.1,0+ y.0,1= x.i+y.j * Vetores no R3: * i=1,0,0,j =(0,1,0), k=(0,0,1). * v= x,y,z=x.1,0,0+ y.0,1,0+ z.0,0,1= x.i+y.j +z.k * Os vetores canônicos são ortogonais e unitários: * i.j = i.k=j. k=0; i=j =k=1

PRODUTO ESCALAR ou INTERNO: