vetores e suas aplicações

Produto escalar
Em matemática, em álgebra linear, o produto escalar é uma função binária definida entre dois vetores que fornece um número real (também chamado "escalar") como resultado1 2 . É o produto interno padrão do espaço euclidiano.3 4
O produto vetorial, que é outra operação possível de ser definir para vetores fornece, por outro lado, um novo vetor.5
Índice
[esconder]
1 Definição
1.1 Geométrica
1.2 Algébrica
2 Propriedades
3 Referências
Definição[editar | editar código-fonte]
Geométrica[editar | editar código-fonte]

Produto escalar de vetores. Percebe-se que ||A||•cos(θ) é a projeção de A em B.
O produto escalar de dois vetores A e B, que se representa por ou ainda por um traço vertical | é o resultado do produto do comprimento (também chamado de norma ou módulo) de B pela projeção escalar de A em B.6

Onde θ é o ângulo formado pelos vetores e ||A|| e ||B|| são seus comprimentos.
Essa expressão somente contém uma definição do comprimento de um vetor como a raiz quadrada do seu produto escalar, mas não fornece meios de se calcular o comprimento do vetor.

Entretanto, essa expressão permite o cálculo do ângulo θ entre os vetores:6

Note que não é necessário mencionar nenhum sistema de coordenadas para se obter o valor do produto escalar. A formula acima é válida independente do sistema de coordenadas.
Fisicamente, se A fosse uma força, o produto escalar mediria o quanto da força A estaria sendo aplicada na direção de B. Isto só é válido, entretanto, se o vetor B for unitário. Do contrário, a magnitude da projeção de A em B ("o quanto da força A está aplicado na direção de B") deve ser obtida por A · (B / |B|), visto que B / |B| representa o vetor unitário na direção de B.
Algébrica[editar | editar código-fonte]
Em um sistema de coordenadas ortonormal de n dimensões, onde escrevemos os vetores A e B em termos de componentes como e

o produto escalar entre A e B é:7 6

Note que a interpretação do produto escalar como a