Uso de Novas Tecnologias - Progressão Aritmética

Faculdades Oswaldo Cruz

USO DE NOVAS TECNOLOGIAS
Progressão Aritmética

Introdução
Uma progressão aritmética (PA) é uma seqüência de números onde cada termo (exceto o primeiro termo) é resultado da soma do termo anterior com uma constante, chamada de razão.
+1

+1 +1 +1 +1 +1 +1

1 2 3 4
-2

-2

-2 -2

5
-2

6 7
-2

Razão

8
-2

3 1 -1 -3 -5 -7 -9 -11

Razão

Tipos de PA
Uma progressão aritmética (PA) pode ser de três tipos:

( 6,8,10,12,14,16,18,20)
(5,4,3,2,1,0,1,-1...)

(3,3,3,3,3,3,3,3,3...)

Crescente

Decrescente

Constante

Termos de uma PA
Seja a PA: ( 1,3,5,7,9...)

Chamamos de a1, a2, a3, an o primeiro, segundo, terceiro e enésimo termo.
No exemplo acima, note que: a1 = 1 a2 = 3 a3 = 5 an pode ser qualquer termo que o problema quiser
Razão ( r ) : valor somado a cada termo anterior para obter o termo posterior. No exemplo, a razão vale 2.

Fórmula do Termo Geral
Seja a PA: ( 1,3,5,7,9..)

Note que a razão ( r ) vale 2. Note também que: a2 = a1 + r a3 = a1 + 2r a4 = a1 + 3r

an = a1 + ( n-1)r

Fórmula do Termo Geral

HORA DO VÍDEO

Exemplo
Achar o número de termos da PA: (1, 4, 7, 10 ... 109)
Resolução:
r=4-1=3 a1 = 1 an = 109 n=? an = a1 + ( n - 1)r
109 = 1 + ( n - 1)3
109 = 1 + 3n – 3 n = 37

Interpolação Aritmética
Interpolar x meios aritméticos entre dois termos significa descobrir esses mesmos termos de tal forma que toda a seqüência seja uma PA.
Interpolar 5 meios aritméticos entre -5 e 37
Resolução:
-5 a1 an = 37 n=7 a1 = -5 r=? 37 a7 an = a1 + ( n-1)r
37 = -5 + (7 – 1)r r=7 ( -5,2,9,16,23,30,37)

Propriedade
Numa PA, o termo médio é a média aritmética dos termos eqüidistantes.

Exemplo:
( a1, a2, a3, a4, a5)

a3 = a1 + a5
2
a4 = a3 + a5
2

ou

a3 = a2 + a4
2

Soma dos termos de uma PA
Para expormos o raciocínio iremos utilizar a PA como exemplo: PA (5, 7, 9, 11, 13, 15)
Qual é a soma dos seus termos?