Transformações lineares

Transformações Lineares
Carlos Luz, Ana Matos, Sandra Nunes
Departamento de Matemática
Escola Superior de Tecnologia de Setúbal
Ano Lectivo 2004/2005

Conteúdo
1 Definição. Representação Matricial
1.1 A Composição de Transformações Lineares e o Produto Matricial . . . . . . . . . .
1.2 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear

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3 Inversa de uma Transformação Linear

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4 Exercícios Resolvidos

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5 Exercícios Propostos

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6 Soluções dos Exercícios Propostos

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Bibliografia

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Recorde-se que uma aplicação (ou função) de um conjunto sobre outro é uma regra que, a cada elemento do primeiro conjunto (conjunto de partida), faz corresponder um e um só elemento do segundo (conjunto de chegada).
As transformações lineares são aplicações entre dois espaços vectoriais que, num certo sentido, preservam as operações de adição e multiplicação escalares definidas nesses espaços.
A importância de que se revestem na resolução de diversos problemas de Engenharia, tornam as transformações lineares um tema obrigatório de estudo num curso introdutório de Álgebra Linear.
Neste capítulo faremos uma digressão sucinta pelos aspectos essenciais das transformações lineares, realçando, nomeadamente, as ligações estreitas existentes entre as noções de transformação linear e de matriz.

1

Definição. Representação Matricial

Supondo fixada a base canónica em IR2 , consideremos a matriz
0 −1
1
0

A=

(1)

e o vector x = (1, 1/3) ∈ IR2 . Representando este vector pela matriz coluna calcular o produto
Ax =

0 −1
1 0

1
1/3

=

−1/3
1

1
1/3

1

, podemos

= y.

A multiplicação de A por x pode então ser vista como uma acção de transformação do vector x = (1, 1/3) no vector y = (−1/3, 1). A figura 1 ilustra geometricamente o que aconteceu: ao ser multiplicado por A, o vector x “sofreu” uma rotação de +90 ◦ , sendo transformado (ou aplicado) no vector y.

 −1 /3 y= 
 1 

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