Transformações lineares

Propriedades das transformações lineares

Proposição 6.2.1 Sejam $ V,W$ espaços vectoriais sobre $ {\mathbb{K}}$ e $ T$: $ V \rightarrow W$ uma transformação linear. Então
$ T(0_v)=0_w$ para $ 0_v \in V, \ 0_w \in W$;
$ T(-v)=-T(v), \forall v\in V$;
$ T(\displaystyle\sum_{i=0}^n\alpha_iv_i)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\alpha_iT(v_i),\ v_i\in V, \ \alpha_i\in {\mathbb{K}}$;
Se $ v_1, v_2, ..., v_n$ são vectores de $ V$ linearmente dependentes, então $ T(v_1), T(v_2), \dots, T(v_n)$ são vectores de $ W$ linearmente dependentes.
As afirmações 1-3 seguem da definição de transformação linear. Mostremos (4).
Se $ v_1, v_2, ..., v_n$ são vectores de $ V$ linearmente dependentes então um deles, digamos $ v_k$, escreve-se como combinação linear dos restantes:

$\displaystyle v_k=\sum_{i=0,i\ne k}^n\alpha_iv_i.$
Aplicando $ T$ a ambos os membros da equação,
$\displaystyle T(v_k)=T\left(\sum_{i=0,i\ne k}^n\alpha_iv_i\right)=\sum_{i=1,i\ne k}^n\alpha_iT(v_i),$ e portanto $ T(v_k)$ escreve-se como combinação linear de $ T(v_1), T(v_2), T(v_{k-1}),\dots ,T(v_{k+1})$, $ \dots, T(v_n)$. Segue que $ T(v_1), T(v_2), \dots, T(v_n)$ são vectores de $ W$ linearmente dependentes.
Em geral, uma transformação não preserva a independência linear. Por exemplo, a transformação linear

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}&{\mathbb{R}}^2&\longrightarrow&{\mathbb{R}}^2\\
T:&(x, y)&\longrightarrow&(0, y).\end{array}\end{displaymath}
As imagens da base canónica de $ {\mathbb{R}}^2$ não são linearmente independentes.

Recordamos que, apesar de indicarmos uma base como um conjunto de vectores, é importante a ordem pela qual estes são apresentados. Ou seja, uma base é um n-uplo de vectores. Por forma a não ser confundida por um n-uplo com entradas reais, optámos por indicar uma base como um conjunto. É preciso enfatizar esta incorrecção (propositadamente) cometida.

Teorema 6.2.2 Sejam $ V,W$ espaços vectoriais, $ \{v_1,\dots,v_n \}$ uma base de $ V$