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Páginas: 14 (3365 palavras) Publicado: 9 de abril de 2014
SEM0104 - Aula 13

Cinemática e Cinética de Corpos
Rígidos

Prof. Dr. Marcelo Becker
SEM - EESC - USP

Sumário da Aula
• Introdução
• Cinemática de Corpos Rígidos
• Cinética de Corpos Rígidos
• Métodos Newton-Euler
• Exemplos

EESC-USP

© M. Becker 2009

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Introdução
• Conceito de corpo rígido: é um
conjunto de infinitas partículas de
massa infinitesimal;
• Existemalgumas situações onde as
dimensões de um corpo rígido não
podem ser desprezadas;
• Aparece a rotação de corpo rígido.
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Introdução
• Apresentação de algumas grandezas
físicas importantes:
– v* e a* - velocidade e aceleração linear;
– ω e ω - velocidade e aceleração
&
angular;
– J e H – quantidade de movimento linear e
angular.

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Introdução
• Equações diferenciais que descrevem o
movimento de um corpo:
– Newton (sistema Inercial):
n

d
&
∑ I Fi = dt (m ⋅ I v*) = m ⋅ I v * + m ⋅ I a *

i =1

– Euler (sistema móvel Bn solidário ao corpo):
n

d
∑ Bn M o i = dt ( Bn H o )+ Bn Ω x

i =1

d
H o = Bn I o . dt ( Bn ω ) +
Bn

*
Ω x ( Bn I o .Bn ω ) + m Bn ρ 0 x
Bn
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Bn ao
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Sumário da Aula
• Introdução
• Cinemática de Corpos Rígidos
• Cinética de Corpos Rígidos
• Métodos Newton-Euler
• Exemplos

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Cinemática de Corpos Rígidos
• Quando existem forças que não estão
aplicadas no centro de massa de um
corpo, deve-se considerá-lo corpo
rígido.
• No estudo dos corpos rígidos,
trabalha-se:– 3D: seis eq. de equilíbrio: 3R e 3T;
– 2D: três eq. de equilíbrio: 1R e 2T.
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Cinemática de Corpos
Rígidos
Sistema móvel B fixo
ao corpo (translação e
rotação em torno de Z)

&}T
I ω = {0 0 θ

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Cinemática de Corpos Rígidos
• As velocidades e acelerações
(lineares e angulares) podem ser
obtidas pordiferenciação direta das
equações de deslocamento:
I

vB =

d
( r )
dt I OB

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I

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aB =

d2
2 ( I rOB )
dt

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Cinemática de Corpos Rígidos
• Utilizando sistemas móveis de
referência:
– Velocidade:
I

v B = I v A + I ω × I rAB + I vRe l

– Aceleração:
I

&
a B = I a A + I ω × I rAB + I ω × I ω × I rAB + 2 ⋅ I ω × I vRe l + I aRe lEESC-USP

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Cinemática de Corpos Rígidos
• Corpo rígido significa,
matematicamente, que a distância
entre dois pontos A e B pertencentes a
um corpo permanece constante.
• Considerando:
T

d
vRe l = Tθ ⋅ dt ( B rAB )
I

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=0

d2
I a Re l = Tθ ⋅ dt 2 ( B rAB )

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T

=0

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Cinemática de Corpos
Rígidos

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Cinemática de Corpos Rígidos
• No caso de um corpo flexível, a
distância não permanece mais
constante e passa a ser descrita em
função da elasticidade do material do
corpo.
• A velocidade relativa e a aceleração
relativa não são nulas.

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Cinemática de Corpos
Rígidos

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Cinemáticade Corpos Rígidos
• Então, as equações que descrevem,
com auxílio do sistema móvel solidário
ao corpo, são:
I
I

v B = I v A + I ω × I rAB

&
a B = I a A + I ω × I rAB + I ω × I ω × I rAB

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Sumário da Aula
• Introdução
• Cinemática de Corpos Rígidos
• Cinética de Corpos Rígidos
• Métodos Newton-Euler
• Exemplos

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Cinética dos Corpos Rígidos
Introdução
• Já sabemos que corpo rígido pode ser
idealizado como um conjunto de partículas;
• Então, faremos a dedução das equações
para forças e momentos resultantes;
• Serão introduzidos conceitos de quantidade
de movimento linear e angular.
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Cinética dos Corpos Rígidos
Quantidade de Movimento...
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