Trabalho Potenciacao Matrizes

Universidade Federal do Amazonas
Curso de Ciência da Computação

ÁLGEBRA LINEAR I
Classificação da potenciação de matrizes e aplicações

Aluno: Bruno Raphael Cardoso Dias
Matrícula: 20710312

Manaus - Amazonas

Classificações na Potenciação de Matrizes
Matriz periódica
Uma matriz A é dita periódica de período k ∈ ℕ valor k+1, fornece o mesmo valor inicial de A. Em definição matemática:

quando, ao ser elevada a um

Ak+1 = A

Matriz idempotente
Uma matriz A é dita idempotente quando seu quadrado é igual ao valor dela mesma. É considerada uma matriz periódica de período 1. Em definição matemática:

A² = A
Exemplo:

  

  

1 0 0
100 000 000
1 0 0
A= 0 1 0  A² = 000 010 000  A²= 0 1 0
0 0 0
000 000 000
0 0 0

Matriz nilpotente
Uma matriz A é dita nilpotente quando, ao ser elevada a um número fornece, como resultado, uma matriz nula. Em definição matemática:

Ak = 0
Exemplo:

   

0
0
A=
0
0

1
0
0
0

0
1
0
0

0
0
 A 4=
1
0

0
0
0
0

0
0
0
0

0
0
0
0

0
0
0
0

k∈ℕ

,

Aplicações de Matrizes

  
1 −3

1º) Considere as matrizes:

2

1

4

1 0

 

2

1

−1 −2

A= 2 1 −3 , B= 2 1 1 1 , C = 3 −2 −1 −1
4 −3 1
1 −2 1 2
2 −5 −1 0



Mostre que AB=BA.

AB= AC 






1−62 4−3− 4 1−32 0−34
2−94 16−10 −13−2 −230
22−3 816 21−3 01−6 = 43−6 2−215 −2−13 −4−10
4−6−1 16−32 4−3−1 0−3−6
8−9−2 465 −431 −830





−3 −3 0 1
−3 −3 0 1
1 15 0 −5 = 1 15 0 −5
−3

15

0 −5

−3

15

0 −5

2º) Ache os valores de x, y, z e w:

     x y 2 3
1 0
.
= z w 3 4
0 1





2x3y 3x4y

2z3w 3z4w

2x3y=1  −3x−18/ 4 y=−6/ 4
3x4y=0
4y−18/4 y=−6/4  16y−18y=−6  −2y=−6  y=3
2x3y=1  2x=1−9  x=−8/2  x=−4
2z3w=0  −3z−18/4 w=0
3z4w=1
4w−18/ 4 w=1  16w−18w=4  −2w=4  w=−2
2z3w=0  2z=6  z=3



Bibliografia
SODRÉ,
Ulysses.
“Matrizes”.
Matemática
Essencial
(Médio).
Brasil.
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/matrizes.html. Acesso em 02/05/2007.
“Nilpotent
matrix”.
Wikipedia,
the
free