Trabalho de Cálculo I

CÁLCULO 1 – EXERCÍCIOS

1 – Esboce o gráfico de y = x – x2 sobre o intervalo –2 ≤ x ≤ 3.

a) Use o método dos incrementos para calcular o coeficiente angular da reta tangente à curva num ponto genérico (x0, y0).

Solução:
Vamos considerar agora o problema de traçar a reta tangente num ponto genérico da curva, um ponto de abscissa x = x0, onde x0 é um número qualquer.

f(x0) = x0 – x02

E

f(x0 + Δx) = (x0 + Δx) – (x0 + Δx)2 → x0 + Δx - x02 - 2 x0 Δx - Δx2

Tem-se que:

(f (x0 + Δx) – f (x0))/ Δx = (- Δx2 + Δx - 2 x0 Δx ) / Δx = - 2 x0 - Δx + 1

O limite dessa expressão com Δx → 0 é -2x0 + 1. Portanto, a reta tangente no ponto P = (x0, x0 - x02) é dada por:

y – (x0 – x02) = (-2x0 + 1) (x – x0) → y = -2x0x + 2 x02 - x0 + x + x0 – x02 → y = x02 -2x0x + x

b) Quais são os coeficientes angulares da reta tangente nos pontos (– 1, – 2); (0, 0); (1, 0) e (2, –2) sobre a curva?

Solução:
b.1) y = (-1)2 -2.(-1).x + x → y = 3x + 1

b.2) y = 02 – 2.0.x + x → y = x

b.3) y = 12 -2.1.x + x → y = -x + 1

b.4) y = 22 – 2.2.x + x → -3x + 4

c) Em que pontos sobre a curva a reta é horizontal?

f(x0) = x0 – x02

E

f(x0 + Δx) = (x0 + Δx) – (x0 + Δx)2 → x0 + Δx - x02 - 2 x0 Δx - Δx2

Tem-se que:

(f (x0 + Δx) – f (x0))/ Δx = (- Δx2 + Δx - 2 x0 Δx ) / Δx = - 2 x0 - Δx + 1

Admitindo que Δx tende a zero, tem-se: -2 x0 + 1 = mt

y – (x0 – x02) = (-2 x0 + 1) (x – x0) → y = – 2 x0x + 2x02 + x + – x0 + x0 – x02 → y = x02 – 2 x0x + x

f’(0) = 0 → – 2 x0 + 1 = 0
2 x0 = 1→ x0 = ½

f’( ½ ) = (½ )2 – 2 . x/2 + x → f’( ½ ) = ¼

No ponto em que x0 = ¼ a reta tangente à curva é horizontal.

d) Sobre o gráfico constituído, represente as retas tangentes determinadas nos itens (b) e (c).

Solução:

2 – Use a fórmula para calcular f’ (x0), se f’ (x) é igual a:

a) y = x2 – 4x – 5 → (f(x0 + Δx) – f (x0))/ Δx → f’ (x0) =((x0 + Δx)2 – 4(x0 + Δx) – 5) –x2 + 4x + 5)/ Δx → (Δx2 + 2x Δx – 4 Δx)/ Δx → Δx +