Teoria projeto de sistemas lineares

Trabalho Final Teoria e Projeto de Sistemas Lineares
Marlon Henrique Teixeira 26 de julho de 2011

1

Descri¸ ao do Sistema c˜
• Seja o sistema acadˆmico discreto no tempo com atraso nos estados e x[k + 1] = Ax[k] + Ad x[k − 3] + Bu u[k] + Bw u[w] Y [k] = Cx[k] + Cd x[k − 3] + Du u[k] + Dw u[w] • Sendo atraso d = 3, A = Bw = 1 0, 3
′

(1) (2) 0
′

−0, 7 0, 2 0 −0, 8 1 3 , Cd =

, Ad =

0, 4 0, 2 0 0, 4 1

, Bu = e Dw =

1 0

,

,C=

0 0 , Du =

• Como o sistema tem atraso nos estados, para que possamos trat´-lo como um sistema sem atraso, a reescrevemos esse sistema na forma aumentada, resultando nas seguintes matrizes:        ′ −0, 7 0, 2 0 0 0 0 0, 4 0, 2 1 1 1  0  0   0, 3   3  −0, 8 0 0 0 0 0 0, 4           1  0   0   0  0 0 0 0 0 0 0           0       1 0 0 0 0 0 0   , B u =  0 , B w =  0 , C =  0  , A=  0   0   0  0 0 1 0 0 0 0 0           0  0   0   0  0 0 1 0 0 0 0           0  0   0   0  0 0 0 1 0 0 0  0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Du = 1 e Dw = 0

• Veja as respostas temporais do sistema em malha aberta na Figura 1.

2

Estabilidade Interna
  λ1 = −1, 0478    λ2 = −0, 1583 + 0.7414i     λ3 = −0, 1583 − 0.7414i    λ4 = 0, 6643   λ5 = −1, 1003   λ6 = −0, 1753 + 0, 7265i     λ7 = −0, 1753 − 0, 7265i    λ8 = 0, 6508

Os autovalores de A s˜o: a

Assim sendo, como existem autovalores com m´dulo maior que um, esse sistema ´ dito inst´vel, para um o e a atraso igual a 3 amostras.

1

x 10 5 0 −5

27

Degrau na entrada de controle

Amplitude

12.8

13

13.2 13.4 Amostras − T = 0,01 (seconds) Degrau na entrada de perturbação

13.6

13.8

x 10 2 0 −2 −4

28

Amplitude

6.4

6.5

6.6

6.7 Amostras − T = 0,01 (seconds)

6.8

6.9

Figura 1: Resposta ao Degrau em Malha Aberta aplicados na entrada de controle e perturba¸ao c˜

3

Autovetores
                  