teorema de girard

TEOREMA DE GIRARD
Albert Girard nasceu em 1590 e faleceu em 1633, nascido na Bélgica, foi um matemático que estabeleceu relações de soma e produto entre as raízes de uma equação do 2º grau. Muitos matemáticos ocidentais desenvolveram estudos no intuito de estabelecer relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação quadrática. O grande obstáculo era a presença de números negativos como resultado das raízes, o que não era aceito pelos estudiosos. Girard desenvolveu um método capaz de determinar as relações com a utilização de números negativos.
Temos que uma equação do 2º grau possui a seguinte forma: ax² + bx + x = 0. Nessa expressão, temos que os coeficientes a, b e c são números reais, com a ≠ 0. As raízes de uma equação do 2º grau, de acordo com a expressão resolutiva são:

Soma entre as raízes

Produto entre as raízes

Exemplo 1
Vamos determinar a soma das raízes da seguinte equação do 2º grau: x² – 8x + 15 = 0.
Soma

Produto

As relações de Girard não servem somente para determinarmos a soma e o produto de raízes. Elas são ferramentas utilizadas para compor equações do 2º grau. As equações são representadas por: x² – Sx + P = 0, onde S (soma) e P (produto).

Exemplo 2
Determine a equação do 2º grau que possui como raízes os números 2 e – 5.
Soma
S = x1 + x2 → 2 + (–5) → 2 – 5 → – 3
Produto
P = x1 * x2 → 2 * (–5) → – 10 x² – Sx + P = 0 x² – (–3)x + (–10) x² + 3x – 10 = 0
A equação procurada é x² + 3x – 10 = 0.

Relações de Girard nas equações do 3º e do 4º grau
As equações do 3º grau possuem como lei de formação a equação algébrica: ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠ 0 e raízes x1, x2 e x3.
A decomposição da equação permite a determinação de expressões matemáticas capazes de relacionar as raízes da equação.
Exemplo:
ax³ + bx² + cx + d = a[x³ – (x1+x2+x3)x² + (x1*x2 + x1*x3+ x2*x3) – x1*x2*x3

Dividindo a equação por a, temos: Realizando a igualdade entre os polinômios: x1 + x2 + x3 = – b/a x1 * x2 + x1 *