polinomiais

Páginas: 15 (3517 palavras) Publicado: 10 de outubro de 2013

MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO


FUNÇÕES POLINOMIAIS:

Na resolução de problemas, é muito comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do enunciado nos levam a formular expressões que permitam depois a resolução do problema, por meio de uma equação das expressões obtidas. Veja por exemplo a seguinte figura:

A figura é um cubo de dimensão x, cuja área total é dada por:
6x2E cujo volume é expresso por x3.
Todas essas expressões são chamadas expressões polinomiais ou polinômios e serão objetos de estudo a seguir.

POLINÔMIO : Polinômio é uma expresão da forma ax + ax + ... + ax + ax + a (com n1 e an 0). Chamamos a, a, ...,a, a, a de coeficientes do polinômio.
Exemplo: p(x) = 3x – 2x + 5x + 1
Os coeficientes são: a = 3, a = -2, a = 5 e a = 1

Se a 0 e nN, dizemos que o polinômio tem grau n.

Exemplos: 3x - 2x – 1 é um polinômio grau 2.
-4x + x + é um polinômio de grau 3.



POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO:

Considerando, ainda, os coeficientes, um polinômio chama-se identicamente nulo quando P(x) = 0 para todo x R, ou seja, a, a, ..., a, a e a são nulos, e daí temos que o único polinômio nulo, oupolinômio identicamente nulo, é do tipo
0x + 0x + ... + 0x + 0x + 0


VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO:

O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando as operações indicadas pela expressão que define o polinômio, e indica-se por P(a).

EXEMPLO:

Se P(x) = x + 2x - x – 1, o valor de P(x) para x = 2 é:
P(2) = 2 + 2.2 - 2 – 1 = 8 + 8– 2 – 1 = 13
Portanto, 13 é o valor numérico de P(x), para x = 2.


EXERCÍCIOS

1-(Mack-SP)Determine mR para que o polinomio p(x) = (m-4)x3 + (m2 – 16)x2 + (m+ 4)x + 4 seja de grau 2.
2-(FEI-SP)Sendo p(x) = ax4 – bx- c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(-1) = 0 e q(1)= 2.
3-(Fuvest-SP)O polinomio P é tal que p(x) + x*p(2 – x) = x2 + 3 para todo x real.a)Determine p(0), p(1) e p(2).
b)Demosntre que o grau de P é 1.


IGUALDADE DE POLINÔMIOS:

Dois polinomios P(x) e Q(x), são iguais ou idênticos se eles tiverem os mesmos coeficientes.

EXEMPLO:
Determine os valores de a, b e c para que os polinomios
P(x) = 2x + x - 4x + 1 e q(x) = ax + x + bx + c sejam iguais.
Como vimos, para que P(x) = Q(x), eles precisam ter os mesmos coeficientes.Assim a = 2, b = 4 e c = 1.

EXERCÍCIOS :

1-(Puc-sp)Determine os valores de m, n e p de modo que se tenha
(m+n+p)x4 – (p+1)x3 + (n-p)x + n = 2mx3 + (2p+7)x2 + 5mx = 2m.

Operações com polinômios

As operações de adição e subtração funcionam basicamente iguais para os polinômios. Basta trabalharmos com os coeficientes de mesmo expoente.
Exemplo:
1) p(x ) = 3x² + 2x -1 e q(x) = -x³+ 4x² - 2x - 5
p(x) + q(x) = 3x² + 2x –1 +(-x³) + 4x² - 2x – 5 = -x³ + 7x² - 6

2)p(x) = 3x² - 4x +1 e q(x) = 5x² - 3x + 4
p(x)-q(x) = 3x² - 4x +1- (5x²-3x+4) = 3x² - 4x +1 - 5x² + 3x -4=-2x² - x - 3

Já a multiplicação é um pouco diferente, tanto a de um polinômio por outro, quanto a de um polinômio por um número real. Vejamos um exemplo de cada caso.

1) Multiplicação de umpolinômio por outro:
p(x) = 3x -4 e q(x) = -2x +5
p(x).q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x² + 15x + 8x -20 = -6x² + 23x -20

2) Multiplicação de um polinômio por um número real:
p(x) = 2x³ -4x² +5x -3
7.p(x) = 7(2x³-4x²+5x-3) = 14x³ -28x² +35x -21


Divisão de polinômios

Dados dois polinômios p(x) e h(x), com h(x) não-nulo, dividir p(x) por h(x), significa encontrar dois polinômios q(x) e r(x) quesatisfaçam as seguintes condições:
1ª) p(x) = h(x)q(x) + r(x) onde p(x) é chamado de dividendo, h(x) de divisor, q(x) de quociente e r(x) de resto.
2ª) o grau de r(x) não pode ser igual ou maior que o grau de h(x).

Exemplo: Vamos efetuar a divisão do polinômio p(x) = x³ +x² -x +1 pelo polinômio h(x) = x +4.

x³ + x² - x + 1
-x³ -4x²
x+4

x² - 3x +11
-3x² - x + 1...
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