Equacões polinomiais

Equações polinomiais

Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio: p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos:

x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0 x8 – x6 – 6x + 2 = 0 x10 – 6x2 + 9 = 0

As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução.

Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)

Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.

Exemplo 1

Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação:
2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0

Se 2 é raiz da equação, então temos:

2(2)4 + k(2)3 – 5(2)2 + 2 – 15 = 0
2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0
8k + 34 – 35 = 0
8k – 1 = 0
8k = 1 k = 1/8
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8.

Exemplo 2

Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx3 + (m + 2)x2 – 3x – m – 8 = 0.

Temos que:

m(–3)3 + (m + 2)( –3)2 – 3(–3) – m – 8 = 0 m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9
– 19m = –19 m = 1

O valor de m é 1.

1.0 INTRODUÇÃO
Sabe-se que os matemáticos da Babilônia, há mais de 4000 anos, já sabiam “completar quadrados” para resolver equações do 2º grau, entretanto muitos anos se passaram até que o italiano Cardano, apoiado nas sugestões de
Tartaglia e Ferrari, publicou soluções para equações de 3º e 4º graus, esse fato deu um grande impulso nas pesquisas em álgebra. Na época os pesquisadores buscavam uma solução geral que incluísse polinômios de qualquer ordem, embora os resultados encontrados não fossem os esperados houve um grande desenvolvimento, nessa área, nos anos que se seguiram. No nosso