tecnicas de integraçao

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
⦁ Integração de funções exponenciais:
∫ dx = + C , pois ( )´= .
Exemplos:
⦁ ∫4 dx
= 4 ∫ dx = 4. + C

⦁ ∫ dx, pela regra de substituição: u = 2x e du= 2 dx → dx = du/2
Assim, ∫ .du/2 =
∫ . du/2 =
1/2 ∫ . du =
1/2. + C =

Substituindo u por 2x, temos:
1/2. + C

⦁ ∫x. dx , pela regra de substituição: u = 3x² e du= 6x dx → x.dx = du/6
Assim, ∫x. dx = ∫ .xdx =
∫eu du/6 = =
1/6∫
1/6 + C

Substituindo u por 3x², temos:
1/6 + C

⦁ ∫x². dx, pela regra de substituição: u = 3x³ e du= 9x²dx → x².dx = du/9
Assim, ∫x². dx = ∫ dx
∫ dx =
= ∫eu du/9 =
1/9∫
= eu/9 + C

Substituindo u por 3x3, temos: e3x³/9 + C

Exercícios:

⦁ ∫ 5 exdx =
⦁ ∫ e3xdx =
⦁ ∫ x.e5x²dx =
⦁ ∫ x² e4x³dx =
⦁ ∫ 2x ex²dx =
Toda integral da forma ∫ será dada por ln IxI + C

Exemplos:

⦁ ∫2x/1 + x² . dx , fazemos u = 1 +x². Então, du= 2xdx. Temos

∫2x/1 + x² . dx = ∫ du/u =

= ln IuI + C

Substituindo u por 1+ x², temos
= ln I 1+x²I + C

⦁ ∫cotan y dy = ∫1/tg y dy = ∫ 1/seny/cos y dy = ∫cosy/ sen y dy , u = sen y → du = cos y dy

Assim:
∫ du/u = ln IuI + C

Substituindo u por sen y, temos
= ln I sen yI + C

⦁ ∫2x / x² + 5 dx = u = x² +5 → du = 2xdx

Assim:
∫ du/u = ln IuI + C

Substituindo u por x² + 5, temos
= ln I x² + 5I + C

⦁ ∫ 4/x .dx = 4 ∫ dx/x
4. ln IxI + C

⦁ ∫ tgx dx =

∫sen x/cos x dx = u = cos x → du = -sen x dx , ou seja –du = senx dx

∫ - du/u =
-1 ∫du/u =
- ln IuI + C

Substituindo u por cos x, temos
= - ln I cos x I + C

Exercícios:

⦁ ∫4x³dx/(2 +x4)
⦁ ∫2x dx/(x2+8)
⦁ ∫ 2/x dx
⦁ ∫secydy
⦁ ∫x2/(1+x³)dx
Método de integração por partes:
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Temos,
[f(x).g(x)]´ = f(x). g´(x) + g(x). f´(x)] ou, f(x).g´(x) = [f(x). g(x)]´ - g(x).f´(x).
Integrando ambos os lados da equação, obtemos:
∫f(x).g´(x)dx = ∫[f(x). g(x)]´dx -