SISTEMAS LINEARES

SISTEMAS LINEARES

Vários problemas nas áreas cientıfica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível.

Definição - Uma equação linear em ‘’N’’ incógnitas x1,..., xn uma equação da forma a1x1 + ... + anxn = b, onde a1,..., an, b são constantes reais. Uma solução para a equação linear acima é um conjunto de números reais s1, s2,..., sn tais que quando substituímos x1 = s1, x2 = s2,..., xn = sn, a equação é satisfeita.

Exemplo - Resolva as seguintes equações lineares:

a) 3x = 5 Esta equação tem como solução única x = 5/3 logo o seu conjunto solução é

b) 0x = 1 Esta equação não tem nenhuma solução, pois não existe nenhum número real que multiplicado por 0 dê 1. Portanto S = ∅.

c) 5x + 10y − 2z = 3 Isolamos qualquer uma das variáveis, escrevendo ela em função das outras. Por exemplo, isolando x, temos:

Isto é, escrevemos x em função de y e z. As variáveis y e z não dependem de nenhuma outra; elas são variáveis livres. Logo, elas podem assumir quaisquer valores reais arbitrários, digamos: y = α e z = β.

Portanto, o conjunto solução deste sistema é infinito e tem a forma:
Ou seja, toda solução da equação tem esta forma, para algum valor de α e algum valor de β. Por exemplo:

São soluções da equação: a primeira corresponde a tomar α = 0 e β = 0, enquanto que a segunda corresponde a tomar α = 1 e β = −1.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Um sistema de equações lineares é simplesmente um conjunto de equações em que um sistema de m equações lineares em n variáveis (ou incógnitas) é um conjunto de equações lineares da forma:

onde aij , bk para i = 1, ..., m, j = 1, ..., n e k = 1, ..., m, s˜ao constantes reais, chamados os coeficientes do sistema.

Usando a notação de matrizes e, especialmente, a maneira como o produto de matrizes foi definido, o sistema linear acima pode ser representado pela equação matricial.
AX = B, onde:

Tal que