sistemas lineares

UFSC - EEL - SISTEMAS LINEARES
Aula de Laborat´ orio 02
S´
erie de Fourier

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Objetivo

Estudar a s´erie de Fourier ou seja, como fun¸co˜es peri´odicas podem ser representadas por uma soma de sinais senoidais com freq¨ uˆencias m´ ultiplas da freq¨ uˆencia do sinal peri´odico.

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Introdu¸ c˜ ao

A s´erie de Fourier foi desenvolvida por Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), mas o trabalho foi inicialmente rejeitado, j´a que uma prova rigorosa n˜ao foi apresentada. Fourier apresentou posteriormente os resultados sobre a s´erie no seu livro Teoria do calor. Trabalhos posteriores permitiram a prova rigorosa deste resultado. A an´alise de Fourier revelou-se como a base de muitos m´etodos em f´ısica e engenharia. Na engenharia el´etrica as aplica¸co˜es s˜ao muito grandes em diversas a´reas.

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S´ erie de Fourier

Qualquer fun¸ca˜o peri´odica f (t), com per´ıodo T pode ser considerada como a soma de fun¸co˜es senoidais
2π
com frequˆencias 0, . . ., nω0 , onde ω0 =
.
T
A s´erie trigonom´etrica de Fourier ´e dada por: f (t) = a0 + a1 cosω0 t + a2 cos 2ω0 t + . . . + . . . + b1 senω0 t + b2 sen 2ω0 t + . . .

(1)

A determina¸ca˜o apropriada dos coeficientes permite representar qualquer fun¸ca˜o peri´odica. A frequˆencia ω0 corresponde a componente fundamental, e ´e a frequˆencia de f(t). A frequˆencia nω0 corresponde ao n-´esimo harmˆonico. a0 corresponde a uma componente de frequˆencia zero (componente de corrente cont´ınua). A s´erie exponencial de Fourier pode ser obtida facilmente da s´erie trigonom´etrica e ´e dada por: f (t) = F0 + F1 ejω0 t + F2 ej2ω0 t + . . . + . . . + F−1 e−jω0 t + F−2 e−j2ω0 t + . . . +

(2)

∞

Fn ejn ω0 t

=

(3)

n=−∞

onde
Fk =

1
T

t0 +T

f (t)e−jn ω0 t dt t0 para n = 0, ±1, ±2, . . .
1

(4)

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An´ alise de Fourier do trem de pulsos

Nesta se¸ca˜o analisaremos, atrav´es da s´erie de Fourier, o trem de pulsos. Para isto, um programa em
Scilab ser´a