SISTEMAS LINEARES

Páginas: 6 (1460 palavras) Publicado: 18 de junho de 2014
1- SISTEMAS LINEARES
1.1 - EQUAÇÃO LINEAR
Equação linear é toda equação da forma:
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
em que a1, a2, a3, ... , ansão números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas
x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).
Veja alguns exemplos de equações lineares:
3x -2y + 4z = 7
-2x + 4z = 3t - y + 4
(homogênea)

As equações a seguir não são lineares:
xy - 3z + t = 8
x2- 4y = 3t - 4

 
1.2 - SISTEMA LINEAR
Um conjunto de equações lineares da forma:

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
         A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas asequações do sistema.
1.3 - MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR
       A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:
 matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.
Em relação ao sistema:

a matriz incompleta é:

matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes dasequações do sitema.
Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

  1.4 - SISTEMAS HOMOGÊNEOS
Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:

 Veja um exemplo:
 
A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadasnão-triviais.  
1.5 - CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA QUANTO AO NÚMERO DE SOLUÇÕES
Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).
No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema épossível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).
Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).
Resumindo, um sistema linear pode ser:
  a) possível e determinado (solução única);  b) possível e indeterminado (infinitas soluções);  c) impossível (não tem solução).
 
1.6 - SISTEMA NORMAL
Um sistema  énormal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.
Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.
 
1.7 - REGRA DE CRAMER
Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.
 
1.8 - DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:
 a) possível e determinado, se D=det A0; caso em que a solução é única.
Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.
 
 b) possível eindeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.
Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.
Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.  
c)impossível, se D=0 e Dxi0, 1 in; caso em que o sistema não tem solução.
Exemplo:

 
                 
Como D=0 e Dx0,  o sistema é impossível e não apresenta solução.
 
1.9 - SISTEMAS EQUIVALENTES
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, dados os sistemas:
          e   
verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é...
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