Sistemas lineares

Sistemas Lineares Ao conjunto formado por duas ou mais equações lineares damos o nome de Sistema Linear

3x  4 y  0  5 x  2 y  10 x  y  1 

Elementos de um sistema Linear

a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 a x  a x   a x  b  21 1 22 2 2n n 2   am1 x1  am 2 x2   amn xn  bm  são os coeficientes aij  x1 , x2 , , xn são as variáveis ou incógnitas b1 , b2 , , bm são os termos independentes

Definições importantes
Uma Solução para um Sistema Linear de m equações e n incógnitas é uma nupla ordenada  x1 , x2 , , xn  que satisfaz simultaneamente as m equações do sistema.

OBSERVAÇÕES

a11 x1  a12 x2   a1n xn  0 a x  a x   a x  0  21 1 22 2 2n n   am1 x1  am 2 x2   amn xn  0 
Todo sistema homogêneo admite pelo menos uma solução: a n-upla  0, 0, , 0  denominada Solução Trivial.

Matrizes associadas a um sistema linear

3x  4 y  0  5 x  2 y  10 x  y  1 
Matriz dos coeficientes

3 4    A   5 2   1 1   

Matriz dos termos independentes

 0    B   10   1   

Matriz Ampliada (mais importante)

0  3 4    A | B    5 2 10   1 1 1   
Desta maneira, o sistema pode ser escrito na forma da equação matricial

A X  B

 x X    y

Matriz das incógnitas

Observe os sistemas abaixo:

x  y  5 a)  x  y  1

x  y  z  7 b)   x  y  z  3

x  y  0  c) 2 x  2 y  1 3x  2 y  5 

Método de Gauss - Jordan • Escreve-se a matriz ampliada;

• Transforma-se a ampliada em uma forma escalonada; • Usa-se uma substituição simples para encontrar a solução.

Operações elementares sobre Linhas

• Permutar linhas;
L1  1 0 2  L2  1 1 1    L3  3 2 1   

L1  L2

' L1  1 1 1  L'2  1 0 2    L3  3 2 1   

• Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo;
L1  1 0 2  L2  2 L2 L2  1 1 1    L3  3 2 1    L1  1 0 2  L'2  2 2 2    L3  3 2 1   

• Substituição dos