Sistemas Lineares

Métodos Numéricos, Notas de aula, 2011. c Departamento de Computação, Universidade Federal de Ouro Preto.

Sistemas Lineares
Marcone Jamilson Freitas Souza, Departamento de Computação, Instituto de Ciências
Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto, 35400-000 Ouro Preto, MG, Brasil. Homepage: http://www.decom.ufop.br/prof/marcone, E-mail: [e-mail]

1

Introdução

Propõe-se, neste capítulo, apresentar métodos numéricos para resolver sistemas lineares postos na forma:

 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1


 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
(1.1)
.
.
.
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
.
.
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.
.
.


 an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn ou, equivalentemente: n aij xj = bi

∀i = 1, 2, . . . , n

(1.2)

j=1

isto é, resolveremos sistemas lineares nos quais o número de equações é igual ao de incógnitas.
Na forma matricial, um sistema linear é representado por Ax = b, em que:

 a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


A= .
.
.
.  −→ Matriz dos coeficientes
.
.
. 
 .
.
.
.
.



x=



 b= 

an1 an2 · · · ann

x1 x2 

.  −→ Vetor das variáveis (ou incógnitas)
. 
.
xn

b1 b2 

.  −→ Vetor dos termos independentes
. 
.

bn
É comum também representar o por:  a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n

[A | b] =  .
.
.
.
.
.
.
 .
.
.
.
. an1 an2

···

ann

sistema Ax = b pela sua matriz aumentada, isto é,
|
|
|
|

b1 b2 .
.
. bn 


 −→ Matriz aumentada do sistema


2

Marcone Jamilson Freitas Souza

Definição: Denomina-se vetor solução (ou simplesmente solução) de uma sistema Ax = b, e denota-se por x = [¯1 , x2 , · · · , xn ]t , ao vetor das variáveis que contém os elementos
¯
x ¯
¯
xj , j = 1, · · · , n, que satisfazem a todas as equações do sistema.
¯

2

Classificação de um sistema com relação ao número de soluções

Com