sinais

Análise de Fourier

Sinais e espectros
Os sinais são compostos de várias componentes senoidais (Série de Fourier)
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

Generalização  Transformada de Fourier

Aplicações
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Análise das frequências de um sinal.

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Melhor entendimento de projetos de filtros

Operação transformada


A fim de se realizar uma operação de transformação, deve-se inicialmente modelar matematicamente o sinal.



Objetivo:
Série de Fourier;
Transformada de Fourier;
Relação entre ambas.

-

Fasores e espectro de linhas


Seja um sinal senoidal dado pela seguinte expressão: v( t )  A cos(o t  )



Utilizando-se da relação de Euler, tal que: e j  cos()  j sen()

Representação fasorial


Podemos expressar o sinal senoidal por um fasor, tal como na figura abaixo:

A cos(o t  )  Re( A.e j o t    )  A Re(e j o t    )

Espectro de amplitudes e espectro de fases


Alternativamente, pode-se representar o sinal senoidal pelos seus espectros de amplitudes e de fases, tal como na figura.

Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro de fase




Observações:

i. A amplitude (magnitude), no espectro de amplitudes, deve ser sempre positiva . Assim, um sinal descrito por v(t )   A cos( 0 t   ) deve ser re-escrito como v( t )  A cos(0 t    )
É indiferente se é utilizado +  ou -.

ii.  tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve ser expressa em radianos. Lembrar que  = 2..f em rad/s e f em Hz.

iii. Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do eixo real, no sentido anti-horário.

iv. Formas de onda cosseno e seno são genericamente denominadas de forma de onda senoidais. Lembrar que sen (t)  cos(t  / 2) , ou seja, o sinal seno é um sinal cosseno atrasado de /2 (ou, 900 ).

Exemplo


Dado o sinal: s (t )  7  10 cos(40 t  60 )  4sen(120 t )



Cuja forma de onda é:



Determinar o seu espectro de