Sequencias E S Ries Num Ricas

Sequências e séries de números reais Objetivo principal deste tópico é atribuir um sentido à soma in…nita
+1
X

an = a1 + a2 + :::

(1)

n=1

onde os termos an são números reais e descobrir em que casos esta soma in…nita é um número real. Vamos fazer uma generalização do que é feito quando se estuda a soma in…nita dos termos de uma Progressão Geométrica de razão menor do que 1: Para isso precisamos primeiro estudar sequências de números reais.

Sequências de números reais

De…nição e exemplos
Uma sequência de números reais é uma função real a cujo domínio é o conjunto N , isto é, a:N!R n 7! a(n):

Os valores a(1); a(2); ::::; a(n); ::: são chamados termos da sequência. Vamos usar a notação a(1) = a1; a(2) = a2 ; a(3) = a3 ; ..., a(n) = an ; ... Também vamos usar a = (a1 ; a2 ; :::) ou simplesmente a = (an )

1

para designar a sequência a.
Exemplos de sequências
1) an = 1 para todo n é a sequência
(1; 1; 1; 1; 1; :::::)

Mais geralmente, dado um número real c, temos a sequência constante dada por an = c; n = 1; 2; 3; :::
(c; c; c; c; c; :::::)

2) (an) dada por quência an = ( 1)n =

1 se n é par
1 se n é ímpar

é a se-

( 1; 1; 1; 1; 1; 1; :::::)

3) (an) dada por an = n1 é a sequência
1 1 1
(1; ; ; ; :::::)
2 3 4

4) (an) dada por an = ( n1) é a sequência n 1
( 1; ;
2

1 1
; ;
3 4

1
; :::::)
5

5) (an) dada por an = pné a sequência p p p
(1; 2; 3; 4; :::::)

Sequências limitadas
Dizemos que a sequência (an) é limitada se existem m; M 2 R tais que m an

para todo n 2 N .
2

M

Ou ainda (an) é limitada se e somente se existe
K > 0 tal que jan j

K

para todo n 2 N .
Exemplos.
1) A sequência (an) dada por an = (

1)n =

1 se n é par
;
1 se n é ímpar

( 1; 1; 1; 1; 1; 1; :::::)

é limitada.
2) A sequência (an) dada por an = n1 ,
1 1 1
(1; ; ; ; :::::)
2 3 4

é limitada.
3) A sequência (an) dada por an = 2n
(2; 4; 8; 16; :::::)

não é limitada.

Sequências monótonas
Dizemos que a sequência (an) é monótona não decrescente (não crescente) se an+1 an (an+1

para