sequencias numericas

MATEMÁTICA APLICADA

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
1.1 Sequência e Limite de Sequência
Uma sequência ou sucessão de números reais é uma função 𝑛 ↦ 𝑎! , a valores reais, cujo domínio é um subconjunto de ℕ. As sequências que vamos considerar de agora em diante são aquelas cujo domínio é do tipo 𝑛 ∈ ℕ | 𝑛 ≥ 𝑞 onde 𝑞 é um natural fixo. A notação 𝑎! é usada para indicar o valor que a sequência assume no natural 𝑛.
Diremos que 𝑎! é o termo geral da sequência. Por abuso de notação utilizaremos o símbolo 𝑎! para indicar a sequência de termo geral 𝑎! .
EXEMPLO 1: Seja a sequência de termo geral 𝑎! = 2! . Temos:
𝑎! = 2! , 𝑎! = 2! , 𝑎! = 2! , …
EXEMPLO 2: Seja a sequência de termo geral
!

𝑠! =

𝑘
!!!

Temos:
𝑠! = 1, 𝑠! = 1 + 2, 𝑠! = 1 + 2 + 3, …
EXEMPLO 3: Seja a sequência de termo geral
!

𝑠! =
!!!

1
𝑖

Temos:
1
1 1
𝑠! = 1, 𝑠! = 1 + , 𝑠! = 1 + + , …
2
2 3
EXEMPLO 4: Considere a sequência de termo geral
!

𝑡 ! , 𝑡 ≠ 0 𝑒 𝑡 ≠ 1

𝑠! =
!!!

Verifique que:

𝑠! =

1 − 𝑡 !!!
1−𝑡
1

MATEMÁTICA APLICADA
Definição: Consideremos uma sequência de termo geral 𝑎! e seja 𝑎 um número real.
Definimos:
i)

lim 𝑎! = 𝑎

Para todo 𝜖 > 0 , existe um natural 𝑛! tal que

!→ !∞

𝑛 > 𝑛! ⇒ 𝑎 − 𝜖 < 𝑎! < 𝑎 + 𝜖 ii) lim 𝑎! = +∞ Para todo 𝜖 > 0 , existe um natural 𝑛! tal que

!→ !∞

𝑛 > 𝑛! ⇒ 𝑎! > 𝜖 iii) lim 𝑎! = −∞ Para todo 𝜖 > 0 , existe um natural 𝑛! tal que

!→ !∞

𝑛 > 𝑛! ⇒ 𝑎! < −𝜖

Se lim!→ !∞ 𝑎! for finito, diremos que a sequencia 𝑎! é convergente; caso contrário, diremos que a sequencia é divergente.
Observe que as definições acima são exatamente as mesmas de limites de uma função 𝑓(𝑥) , para 𝑥 → +∞ ; deste modo, todo estudo sobre limites da forma lim!→ !∞ 𝑓(𝑥) aplica-se aqui.
EXEMPLO 5. Calcule:
𝑛! + 3𝑛 − 1 lim !→ !∞
2𝑛! + 5
EXEMPLO 6: (Teorema do Confronto) Suponha que exista um natural 𝑛! tal que, para todo 𝑛 ≥ 𝑛! , 𝑎! ≤