Secao 3 1 S

SEÇÃO 3.1

3.1

DERIVADAS DE FUNÇÕES POLINOMIAIS E EXPONENCIAIS

 1

SOLUÇÕES

1. f (x) = x2 – 10x + 100



f ¢(x) = 2x – 10

2. g(x) = x100 + 50x + 1



g¢(x) = 100x99 + 50

3. s(t) = t 3 – 3t 2 + 12t

14. f (x) = x2 + 2ex



f ¢(x) = 2x + 2ex. Observe que f ¢(x) = 0

quando f tem uma tangente horizontal, f ¢ é positiva quando f é crescente, e f ¢ é negativa quando f é decrescente.



s¢(t) = 3t 3 –1 – 3 (2t 2–1) + 12 = 3t 2 – 6t + 12
4. F (x) = (16x)3 = 4 096x3



F ¢(x) = 4 096 (3x2) = 12 288x2
5. H ( s ) = ( s /2)5 = s5 /25 =

H ¢( s ) =
6. y =

1
(5s5-1 )
32

=

1 5 s 32



5 4 s 32

5 x = 5 x1/ 2  y ¢ = 5( 12 ) x-1/ 2 =

7. y = x4/3 - x2/3

 y¢ =

4 1/3 x 3

5
2 x

1,36

15. (a)

- 23 x-1/3

8. y = 3x + 2ex  y ¢ = 3 + 2 e x

B
C
+ 2 = A + Bx-1 + Cx-2  x x
B
C y ¢ = -Bx-2 - 2Cx-3 = - 2 - 2 3 x x

9. y = A +

10. y = x +

1,9
1,28

Os pontos extremais do gráfico de f nesta tela são cerca de (1,9, 1,2927) e (2,1, 1,3455). Uma estimativa de f ¢(2) é

5

x2 = x + x2/5 
2
y ¢ = 1 + 52 x-3/5 = 1 +
5 5 x3

11. u = x x +

1 x2 x

1,3455 - 1,2927
2,1 - 1,9

= x3/ 2 + x-5/ 2 

u ¢ = 32 x1/ 2 - 52 x-7/ 2 =

3
2

x-

2,1

5
2 x3 x

=

0,0528
0,2

= 0,264.

(b) f ( x) = x2/5  f ¢( x) = 52 x-3/5 = 2/(5 x3/5 ). f ¢(2) = 2/(5 ⋅ 23/5 ) » 0,263902.
16. (a)

–4
0,9

1,1

12. f (x) = 2x2 – x4

 f ¢(x) = 4x – 4x3. Observe que f ¢(x) = 0 quando f tem uma tangente horizontal e que f ¢ é uma função ímpar enquanto f é uma função par.
–5

Os pontos extremais do gráfico de f nesta tela são cerca de (0,9, −4,1092) e (1,1, −4,7983). Uma estimativa de
-0,6891
-4,7983 - (-4,1092) f ¢(1) é
=
= -3,4455.
1,1 - 0,9
0,2
13. f (x) = x – 3x1/3  f ¢(x) = 1 – x –2/3 = 1 – 1/x2/3. Observe que f ¢(x) = 0 quando f tem uma tangente horizontal, f ¢ é positiva quando f é crescente, e f ¢ é negativa quando f é decrescente.

(b) f (x) = x2 – 2ex 

f ¢(x) = 2x – 2ex.

f ¢(1) = 2 – 2e » –3,436564.

2

 SEÇÃO 3.1 DERIVADAS DE FUNÇÕES POLINOMIAIS E EXPONENCIAIS
4
4
 f ¢( x) = 1 - 2 . Logo, a